Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^pi2 t^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
I = integral0^pi2 tan^2theta , dtheta
O conteúdo envolve integrais impróprias devido ao comportamento de tantheta em theta = pi/2. Para resolver, vamos reescrever como limite e usar identidade trigonométrica.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite para tratar o ponto problemático em pi/2:
I = limbtopi2^- integral0^b tan^2theta , dtheta
Usamos a identidade
tan^2theta = sec^2theta - 1
para simplificar o integrando.

Passo 3

Substituindo a identidade, obtemos
integral0^b tan^2theta , dtheta = integral0^b (sec^2theta - 1),dtheta = l[tantheta - thetar]0^b = tan b - b

Passo 4

Analisamos o limite
limbtopi2^- (tan b - b)
Como tan b to +infty quando b to tfracpi2^-, esse limite é infinito, ou seja, a integral não converge.

Resposta

A integral diverge.

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