Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
f(z)=i z \leftrightarrow f(z)=i x-y \therefore f(x, y)=(-y, x)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função complexa
f(z)=i\,z
como uma função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2. Vamos usar a correspondência usual
z = x + i\,y \quad\text{com}\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2
e identificar as partes real e imaginária do produto i\,z.

Passo 2

Escrevendo z=x + i\,y em f(z)=i\,z, temos
f(z)=i\,(x + i\,y)\,.

Passo 3

Distribuindo e lembrando que i^2=-1, obtemos
i\,(x + i\,y)=i\,x + i^2\,y = i\,x - y\,.

Passo 4

Agora separamos a parte real e a parte imaginária de i\,x - y:
parte real =-y,
parte imaginária =x.
Logo, como função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2,
f(x,y)=(-y,\;x)\,.

Resposta

f(x,y)=(-y,\,x).

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