Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
f(z)=z^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função complexa f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(z)=z^{2},
sendo z=x+i\,y com x,y\in\mathbb{R}. O objetivo é reescrevê-la como uma aplicação \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, identificando as componentes real e imaginária de f(x,y).

Passo 2

Calculamos
z^{2}=(x+i\,y)^{2} =x^{2}+2\,i\,x\,y+i^{2}\,y^{2} =(x^{2}-y^{2})+i\,(2\,x\,y).

Passo 3

Portanto, como função de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2},
f(x,y)=(u(x,y),\,v(x,y))
onde
u(x,y)=x^{2}-y^{2},
v(x,y)=2\,x\,y.

Resposta

f(x,y)=(x^{2}-y^{2},\,2\,x\,y).

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