Dadas as funções degrau, use a Transformada de Laplace para resolver:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- O enunciado pede a função solução
da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
com as condições iniciais
- Aqui
é a função degrau (Heaviside) deslocada em : para e para . - Portanto o termo à direita é a função que vale
para e vale para . Em notação compacta: . - Nosso objetivo é encontrar
válida para .
Passo 2
Revisão rápida (fórmulas) da Transformada de Laplace que vamos usar:
- Definição simbólica: se
. - Transformada de derivadas:
- Teorema do deslocamento no tempo (para a função degrau): se
tem transformada , então
No caso especial
temos
, então
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
- Tomamos Laplace em ambos os lados de
- Pela fórmula das derivadas:
- E
. - Pelo teorema do deslocamento,
- Logo a equação transformada fica
Passo 4
Isolando
e escrevendo como soma de termos invertíveis:
- Agrupando termos em
:
- Portanto
- Interpretamos isso como a soma de duas contribuições: uma sem atraso e outra com fator
(atraso/degrau).
Passo 5
Inversão da primeira parcela
:
- Sabendo que
, temos
- Então a primeira parte da solução no tempo é
.
Passo 6
Tratar a segunda parcela com deslocamento:
.
- Pelo teorema do deslocamento, a inversa dessa parcela será
vezes a função , onde é a inversa de
- Precisamos encontrar
. Para isso fazemos frações parciais.
Passo 7
Decomposição em frações parciais de
:
- Procuramos constantes
tais que
- Multiplicando por
obtemos a identidade
- Expandindo e agrupando coeficientes (termos em
): - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: ⇒ . - Coeficiente constante:
⇒ .
- Coeficiente de
- Com
segue . Com segue . - Assim a decomposição é
Passo 8
Inversão de
e obtenção de
:
- Sabendo que
e , temos
Passo 9
Aplicar o deslocamento para obter a contribuição atrasada na solução:
- Como a parcela no domínio de
era , a inversa é . - Substituindo
:
Passo 10
Combinar todas as partes e escrever a solução completa
:
- Somando a parte sem atraso e a parte atrasada:
Passo 11
Checagem rápida das condições iniciais (para nos dar confiança):
- Para
: (valor a esquerda é 0), então — bate com . - Derivando o primeiro termo
obtemos , então (a parte atrasada não contribui em ), bate com .