Dadas as funções degrau, use a Transformada de Laplace para resolver:
y^{\prime \prime}+4 y=u_{2}(t)(t-2), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • O enunciado pede a função solução y(t) da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y''+4y = u_{2}(t)\,(t-2),
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
  • Aqui u_{2}(t) é a função degrau (Heaviside) deslocada em 2: \;u_{2}(t)=0 para t<2 e \;u_{2}(t)=1 para t\ge2.
  • Portanto o termo à direita é a função que vale 0 para t<2 e vale t-2 para t\ge2. Em notação compacta: (t-2)u_{2}(t).
  • Nosso objetivo é encontrar y(t) válida para t\ge0.

Passo 2

Revisão rápida (fórmulas) da Transformada de Laplace que vamos usar:
  • Definição simbólica: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
  • Transformada de derivadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
  • Teorema do deslocamento no tempo (para a função degrau): se f(t) tem transformada F(s), então
\mathcal{L}\{u_{a}(t)\,f(t-a)\}=e^{-a s}F(s).
No caso especial f(\tau)=\tau temos \mathcal{L}\{\tau\}=\dfrac{1}{s^{2}}, então
\mathcal{L}\{(t-a)u_{a}(t)\}=e^{-a s}\frac{1}{s^{2}}.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
  • Tomamos Laplace em ambos os lados de
y''+4y=(t-2)u_{2}(t).
  • Pela fórmula das derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-0\cdot s-1=s^{2}Y(s)-1.
  • E \mathcal{L}\{4y\}=4Y(s).
  • Pelo teorema do deslocamento,
\mathcal{L}\{(t-2)u_{2}(t)\}=e^{-2s}\frac{1}{s^{2}}.
  • Logo a equação transformada fica
s^{2}Y(s)-1+4Y(s)=e^{-2s}\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Isolando Y(s) e escrevendo como soma de termos invertíveis:
  • Agrupando termos em Y(s):
Y(s)(s^{2}+4)=1+\frac{e^{-2s}}{s^{2}}.
  • Portanto
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+4}+\frac{e^{-2s}}{s^{2}(s^{2}+4)}.
  • Interpretamos isso como a soma de duas contribuições: uma sem atraso e outra com fator e^{-2s} (atraso/degrau).

Passo 5

Inversão da primeira parcela \dfrac{1}{s^{2}+4}:
  • Sabendo que \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}, temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t).
  • Então a primeira parte da solução no tempo é \dfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 6

Tratar a segunda parcela com deslocamento: \dfrac{e^{-2s}}{s^{2}(s^{2}+4)}.
  • Pelo teorema do deslocamento, a inversa dessa parcela será u_{2}(t) vezes a função h(t-2), onde h(t) é a inversa de
H(s)=\frac{1}{s^{2}(s^{2}+4)}.
  • Precisamos encontrar h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Para isso fazemos frações parciais.

Passo 7

Decomposição em frações parciais de H(s)=\dfrac{1}{s^{2}(s^{2}+4)}:
  • Procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{1}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+4}.
  • Multiplicando por s^{2}(s^{2}+4) obtemos a identidade
1 = A s (s^{2}+4) + B (s^{2}+4) + (Cs+D)s^{2}.
  • Expandindo e agrupando coeficientes (termos em s^{3},s^{2},s,1):
    • Coeficiente de s^{3}: A+C=0.
    • Coeficiente de s^{2}: B+D=0.
    • Coeficiente de s^{1}: 4A=0 A=0.
    • Coeficiente constante: 4B=1 B=\tfrac{1}{4}.
  • Com A=0 segue C=0. Com B=\tfrac{1}{4} segue D=-\tfrac{1}{4}.
  • Assim a decomposição é
\frac{1}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 8

Inversão de H(s) e obtenção de h(t):
  • Sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}=t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+4}\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t), temos
h(t)=\frac{1}{4}\,t-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac{1}{4}t-\frac{1}{8}\sin(2t).

Passo 9

Aplicar o deslocamento para obter a contribuição atrasada na solução:
  • Como a parcela no domínio de s era e^{-2s}H(s), a inversa é u_{2}(t)\,h(t-2).
  • Substituindo h:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-2s}}{s^{2}(s^{2}+4)}\right\}=u_{2}(t)\left(\frac{1}{4}(t-2)-\frac{1}{8}\sin\big(2(t-2)\big)\right).

Passo 10

Combinar todas as partes e escrever a solução completa y(t):
  • Somando a parte sem atraso e a parte atrasada:
y(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)+u_{2}(t)\left(\frac{1}{4}(t-2)-\frac{1}{8}\sin\big(2(t-2)\big)\right).

Passo 11

Checagem rápida das condições iniciais (para nos dar confiança):
  • Para t=0: u_{2}(0)=0 (valor a esquerda é 0), então y(0)=\tfrac{1}{2}\sin(0)=0 — bate com y(0)=0.
  • Derivando o primeiro termo \tfrac{1}{2}\sin(2t) obtemos \tfrac{1}{2}\cdot2\cos(2t)=\cos(2t), então y'(0)=\cos(0)=1 (a parte atrasada não contribui em t=0), bate com y'(0)=1.

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)+u_{2}(t)\left(\frac{1}{4}(t-2)-\frac{1}{8}\sin\big(2(t-2)\big)\right)

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