Dadas as funções degrau, use a Transformada de Laplace para resolver:
y^{\prime \prime}+9 y=u_{\pi}(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y''(t)+9y(t)=u_{\pi}(t),
com
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Aqui u_{\pi}(t) é a função degrau deslocada que vale 0 para t<\pi e vale 1 para t\ge\pi. O que se pede é a solução y(t) para todo t.

Passo 2

Breve lembrete das propriedades da Transformada de Laplace que vamos usar (não se assusta, é só trocar derivadas por expressões em s):
  • Definição (não precisamos usar diretamente aqui, só para referência): \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de derivadas: para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\},
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
  • Transformada do degrau deslocado (segundo teorema do deslocamento): \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}. E a inversa: \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a), onde f=\mathcal{L}^{-1}\{F\}.

Passo 3

Aplicamos a Transformada de Laplace na equação inteira. Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}+\;9\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{u_{\pi}(t)\}.
Isso vira
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 0 - 0\big)+9Y(s)=\mathcal{L}\{u(t-\pi)\}.
Portanto
(s^{2}+9)Y(s)=\mathcal{L}\{u(t-\pi)\}.

Passo 4

Usando a transformada do degrau deslocado, \mathcal{L}\{u(t-\pi)\}=\dfrac{e^{-\pi s}}{s}. Logo
(s^{2}+9)Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s\,(s^{2}+9)}.

Passo 5

Agora vamos inverter a transformada. Observa que Y(s) tem um fator e^{-\pi s}. Pelo teorema do deslocamento inverso,
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-\pi s}F(s)\}=u(t-\pi)\,f(t-\pi),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Aqui tomamos
F(s)=\frac{1}{s\,(s^{2}+9)}.
Então nosso objetivo é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} e depois aplicar o deslocamento t\mapsto t-\pi multiplicado por u(t-\pi).

Passo 6

Calculamos f(t) fazendo frações parciais em F(s). Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{s(s^{2}+9)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+9}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+9) obtemos
1 = A(s^{2}+9)+(Bs+C)s.
Desenvolvendo:
1 = As^{2}+9A + Bs^{2}+Cs.
Agrupando coeficientes por potências de s:
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de s: C=0.
  • Termo constante: 9A=1.
Daí A=\dfrac{1}{9}. Então B=-A=-\dfrac{1}{9}. E C=0.
Portanto
\frac{1}{s(s^{2}+9)}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{9}\cdot\frac{s}{s^{2}+9}.

Passo 7

Invertendo as transformadas term a term:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+9}\}=\cos(3t) (porque \mathcal{L}\{\cos(3t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+3^{2}}).
Assim
f(t)=\frac{1}{9}\cdot 1 - \frac{1}{9}\cos(3t)=\frac{1-\cos(3t)}{9}.

Passo 8

Aplicando o teorema do deslocamento inverso com a=\pi:
y(t)=u(t-\pi)\,f(t-\pi)=u_{\pi}(t)\cdot\frac{1-\cos\big(3(t-\pi)\big)}{9}.
Em forma explícita por partes:
y(t)=0,\quad t<\pi,
y(t)=\frac{1-\cos\big(3(t-\pi)\big)}{9},\quad t\ge\pi.

Passo 9

Pequena verificação (para nos deixar tranquilos): para t>\pi seja s=t-\pi. Então y(t)=\dfrac{1-\cos(3s)}{9}. Calculando y''+9y com respeito a t (mesma derivada em s), obtemos 1, que é exatamente o lado direito para t>\pi. Para t<\pi, y=0 e o RHS é 0. Portanto a solução está consistente com a equação e as condições iniciais.

Resposta

y(t)=u_{\pi}(t)\,\frac{1-\cos\big(3(t-\pi)\big)}{9}
\text{ou, de forma peçawise: } y(t)=\begin{cases} 0,& t<\pi,\\[6pt] \dfrac{1-\cos\big(3(t-\pi)\big)}{9},& t\ge\pi. \end{cases}ç]

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