Dadas as funções degrau, use a Transformada de Laplace para resolver:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com
Aqui
é a função degrau deslocada que vale
para
e vale
para
. O que se pede é a solução
para todo
.
Passo 2
Breve lembrete das propriedades da Transformada de Laplace que vamos usar (não se assusta, é só trocar derivadas por expressões em
):
- Definição (não precisamos usar diretamente aqui, só para referência):
. - Linearidade:
. - Transformada de derivadas: para
,
- Transformada do degrau deslocado (segundo teorema do deslocamento):
. E a inversa: , onde .
Passo 3
Aplicamos a Transformada de Laplace na equação inteira. Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Isso vira
Portanto
Passo 4
Usando a transformada do degrau deslocado,
. Logo
Isolando
:
Passo 5
Agora vamos inverter a transformada. Observa que
tem um fator
. Pelo teorema do deslocamento inverso,
onde
. Aqui tomamos
Então nosso objetivo é encontrar
e depois aplicar o deslocamento
multiplicado por
.
Passo 6
Calculamos
fazendo frações parciais em
. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Desenvolvendo:
Agrupando coeficientes por potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Daí
. Então
. E
.
Portanto
Passo 7
Invertendo as transformadas term a term:
-
. -
(porque ).
Assim
Passo 8
Aplicando o teorema do deslocamento inverso com
:
Em forma explícita por partes:
Passo 9
Pequena verificação (para nos deixar tranquilos): para
seja
. Então
. Calculando
com respeito a
(mesma derivada em
), obtemos
, que é exatamente o lado direito para
. Para
,
e o RHS é
. Portanto a solução está consistente com a equação e as condições iniciais.