Dadas as funções
f(x)=lll x^2+2, & se & x <= 1 4-x^2, & se & x>1 e g(x)=2-3 x
determine as leis que definem f circ g e g circ f.

Passo 1

O enunciado dá
f(x)= x^2+2, & x<=1, 4 - x^2, & x>1, g(x)=2-3x
e pede as regras de fcirc g e gcirc f. O conteúdo é composição de funções em casos piecewise, onde precisamos achar para cada ramo as fórmulas e as respectivas condições em x.

Passo 2

Para montar fcirc g, calculamos g(x)=2-3x e verificamos em que pontos g(x) cai em cada ramo de f. As condições são
g(x)<=1 ;Long<=ftrightarrow;2-3x<=1 ;Long<=ftrightarrow;-3x<=-1 ;Long<=ftrightarrow;x>=tfrac13,
g(x)>1 ;Long<=ftrightarrow;x<tfrac13

Passo 3

Agora escrevemos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)= 4 - (2-3x)^2, & x<tfrac13, (2-3x)^2 + 2, & x>=tfrac13

Passo 4

Para
e depois aplicamos .

Passo 5

Substituindo y=f(x) em g obtemos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)= 2-3(x^2+2)= -3x^2-4, & x<=1, 2-3(4 - x^2)=3x^2-10, & x>1

Resposta

(fcirc g)(x)= 4 - (2-3x)^2, & x<tfrac13, (2-3x)^2 + 2, & x>=tfrac13, (gcirc f)(x)= -3x^2 - 4, & x<=1, 3x^2 - 10, & x>1

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