Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
f(x)=lll2 x+1, & se & x<-1 x^2+3, & se & x >=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função definida por partes:
f(x)=lll 2x+1, & se & x < -1 x^2+3, & se & x >= -1
Isso envolve entender funções lineares e quadráticas, além de saber como elas se comportam em diferentes intervalos. Vamos precisar descobrir os pontos onde as duas partes da função se encontram e como cada uma delas se comporta nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função: f(x) = 2x + 1 quando x < -1 . Essa é uma função linear, ou seja, seu gráfico é uma reta. Para desenhar essa reta, precisamos de dois pontos.
Vamos escolher x = -2 e x = -1 (mas lembrando que x = -1 não está incluído nessa parte).
Para x = -2 :
f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3
Então temos o ponto (-2, -3).
Para x = -1 , a função não está definida aqui nessa parte, mas vamos calcular para ter uma ideia:
f(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
Isso nos dá o ponto (-1, -1), mas como x = -1 não faz parte dessa parte da função, esse ponto será importante para o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: f(x) = x^2 + 3 quando x >= -1 . Essa é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. Para desenhar a parábola, vamos encontrar alguns pontos.
Vamos escolher x = -1 , x = 0 e x = 1 .
Para x = -1 :
f(-1) = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4
Para x = 0 :
f(0) = 0^2 + 3 = 0 + 3 = 3
Para x = 1 :
f(1) = 1^2 + 3 = 1 + 3 = 4
Então temos os pontos (-1, 4), (0, 3) e (1, 4).

Passo 4

Agora, vamos juntar as informações que obtivemos:
  • Para x < -1 , a reta f(x) = 2x + 1 passa pelo ponto (-2, -3) e se aproxima de (-1, -1), mas não inclui esse ponto.
  • Para x >= -1 , a parábola f(x) = x^2 + 3 começa em (-1, 4) e passa pelos pontos (0, 3) e (1, 4).
É importante notar que no ponto x = -1 , temos dois valores diferentes:
  • Pela parte linear, chegando perto de (-1, -1)
  • Pela parte quadrática, exatamente em (-1, 4)
Isso significa que o gráfico terá um “pulo” ou descontinuidade nesse ponto.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Desenhe uma reta que passa por (-2, -3) e se aproxima de (-1, -1), mas sem incluir esse ponto (use um círculo aberto em (-1, -1)).
  2. Desenhe a parábola x^2 + 3 que começa em (-1, 4) (use um círculo fechado nesse ponto) e passa por (0, 3) e (1, 4).
Assim, você terá uma reta à esquerda de x = -1 e uma parábola à direita, com uma descontinuidade em x = -1 .

Resposta

O gráfico da função f(x) é composto por uma reta que passa por (-2, -3) e se aproxima de (-1, -1) sem incluir esse ponto, e uma parábola x^2 + 3 que começa em (-1, 4) e passa por (0, 3) e (1, 4). Há uma descontinuidade no ponto x = -1 .

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