8 Se f(x)=8-12 x^2 e P é a partição de [0,6] definida por 0 ; 1,5 ; 3 ; 4,5 ; 6, determine uma soma de Riemann Rp de f escolhendo os números 1,2,4 e 5 nos subintervalos de P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = 8 - 12x^2 definida no intervalo [0, 6]. A partição desse intervalo é feita pelos pontos 0; 1,5; 3; 4,5; 6, o que divide o intervalo em quatro partes menores. Nosso objetivo é calcular uma soma de Riemann Rp escolhendo os pontos 1, 2, 4 e 5 em cada um desses subintervalos. Para isso, vamos precisar entender como funciona a soma de Riemann e aplicar a função nos pontos escolhidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os subintervalos criados pela partição P: [0, 1,5], [1,5, 3], [3, 4,5] e [4,5, 6]. Em cada um desses intervalos, vamos calcular o tamanho, que chamamos de De<a x. Isso é simplesmente a diferença entre os limites de cada subintervalo.
De<a x1 = 1,5 - 0 = 1,5
De<a x2 = 3 - 1,5 = 1,5
De<a x3 = 4,5 - 3 = 1,5
De<a x4 = 6 - 4,5 = 1,5
Viu? Todos os subintervalos têm o mesmo tamanho, 1,5.

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função f(x) nos pontos escolhidos: 1, 2, 4 e 5. Esses pontos são nossos pontos de amostragem dentro de cada subintervalo.
Para x = 1 :
f(1) = 8 - 12(1)^2 = 8 - 12 = 7,5
Para x = 2 :
f(2) = 8 - 12(2)^2 = 8 - 12(4) = 8 - 2 = 6
Para x = 4 :
f(4) = 8 - 12(4)^2 = 8 - 12(16) = 8 - 8 = 0
Para x = 5 :
f(5) = 8 - 12(5)^2 = 8 - 12(25) = 8 - 12,5 = -4,5

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada valor de f(x) pelo tamanho do subintervalo De<a x = 1,5 e somar tudo para obter a soma de Riemann.
Rp = f(1) cdot De<a x1 + f(2) cdot De<a x2 + f(4) cdot De<a x3 + f(5) cdot De<a x4
Rp = 7,5 cdot 1,5 + 6 cdot 1,5 + 0 cdot 1,5 + (-4,5) cdot 1,5
Rp = 11,25 + 9 + 0 - 6,75

Resposta

A soma de Riemann Rp é igual a 13,5 .

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