Dadas as funções
. Escreva a função
na forma mais simples e dê seu campo de definição (domínio). Sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções dadas:
e
. A gente precisa escrever a função
de uma forma mais simples e descobrir para quais valores de
essa função está definida (isso é o que chamamos de domínio). A função
está definida por:
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de funções exponenciais e logaritmos, além de simplificar expressões com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as funções
e
na expressão de
. Isso fica assim:
Aqui, trocamos
por 2 e
por
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada parte dessa expressão. Sabemos que
. Isso porque a função exponencial e o logaritmo natural são funções inversas, ou seja, uma desfaz a outra.
Então, podemos simplificar
para
:
Passo 4
Observe que
. Isso acontece porque o
no numerador e o
no denominador se cancelam:
Passo 5
Então, a forma mais simples de
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio de
. O domínio são todos os valores de
para os quais
está definida.
A expressão
está definida para todos os
reais, porque podemos tirar a raiz cúbica de qualquer número real e depois elevar ao quadrado.
Então, o domínio de
é:
Resposta
A função
simplificada é:
E seu domínio é todos os números reais, ou seja,
.