Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto z = x + y i: f(z) = z barra.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra provar, usando as equações de Cauchy-Riemann, que a função não tem derivada em nenhum ponto . Vamos precisar entender um pouco sobre funções de variável complexa e as equações de Cauchy-Riemann para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função em termos de e . Sabemos que , então o conjugado . Podemos separar isso em partes reais e imaginárias:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e :
As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser diferenciável, essas derivadas devem satisfazer:

Passo 4

Vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
A primeira equação não é satisfeita, então as equações de Cauchy-Riemann não são válidas para essa função.

Resposta

A função não possui derivada em nenhum ponto .

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