Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto
:
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra provar, usando as equações de Cauchy-Riemann, que a função
não tem derivada em nenhum ponto
. Vamos precisar entender um pouco sobre funções de variável complexa e as equações de Cauchy-Riemann para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
em termos de
e
. Sabemos que
, então o conjugado
. Podemos separar isso em partes reais e imaginárias:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser diferenciável, essas derivadas devem satisfazer:
Passo 4
Vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
A primeira equação não é satisfeita, então as equações de Cauchy-Riemann não são válidas para essa função.
Resposta
A função
não possui derivada em nenhum ponto
.