Estabeleça a relação entre e conveniente para , usando a definição de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a relação entre e para o limite . Isso entra no assunto de limites na matemática, mais especificamente na definição de limite usando e . Vamos precisar entender como garantir que, quando está bem pertinho de 3 (dentro de ), o valor da função está bem pertinho de (dentro de ).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite: diz que significa que para todo , existe um tal que, se , então . No nosso caso, , e .
Passo 3
Vamos montar a desigualdade que precisamos que seja menor que :
Nosso objetivo é manipular essa expressão para isolar |x - 3| e encontrar uma relação com de.
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Agora, queremos que |x - 3|2 < varepsilon. Para isso, basta multiplicar ambos os lados por 2:
|x - 3| < 2varepsilon
Isso nos dá uma relação direta entre de e varepsilon. Mas precisamos garantir que nosso de também não faça com que o denominador 2x -6 seja zero, ou seja, x neq 3. Para isso, podemos escolher de pequeno o suficiente, por exemplo, de, garantindo que x fique em um intervalo onde 2x -6 não é zero.
Resposta
A relação conveniente entre de e varepsilon é de. Ou seja, escolhemos de igual ao menor valor entre 1 e 2varepsilon para garantir que | x^2-5 x+62 x-6 - 12 | < varepsilon sempre que |x - 3| < de.