Estabeleça a relação entre de e varepsilon conveniente para lim x 3 x^2-5 x+62 x-6=12, usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a relação entre de e varepsilon para o limite lim x 3 x^2-5 x+62 x-6=12. Isso entra no assunto de limites na matemática, mais especificamente na definição de limite usando varepsilon e de. Vamos precisar entender como garantir que, quando x está bem pertinho de 3 (dentro de de), o valor da função x^2-5 x+62 x-6 está bem pertinho de 12 (dentro de varepsilon).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite: diz que limx a f(x) = L significa que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon. No nosso caso, a = 3, f(x) = x^2-5 x+62 x-6 e L = 12.

Passo 3

Vamos montar a desigualdade que precisamos que seja menor que varepsilon:
| x^2-5 x+62 x-6 - 12 | < varepsilon
Nosso objetivo é manipular essa expressão para isolar |x - 3| e encontrar uma relação com de.

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
x^2-5 x+62 x-6 - 12 = 2(x^2-5x+6) - (2x -6)2(2x -6)
Simplificando o numerador:
2x^2 -10x +12 -2x +6 = 2x^2 -12x +18
Então, temos:
2x^2 -12x +182(2x -6) = 2(x^2 -6x +9)4(x -3) = 2(x-3)^24(x -3) = (x-3)2
Portanto:
| x^2-5 x+62 x-6 - 12 | = | x - 32 | = |x - 3|2

Passo 5

Agora, queremos que |x - 3|2 < varepsilon. Para isso, basta multiplicar ambos os lados por 2:
|x - 3| < 2varepsilon
Isso nos dá uma relação direta entre de e varepsilon. Mas precisamos garantir que nosso de também não faça com que o denominador 2x -6 seja zero, ou seja, x neq 3. Para isso, podemos escolher de pequeno o suficiente, por exemplo, de, garantindo que x fique em um intervalo onde 2x -6 não é zero.

Resposta

A relação conveniente entre de e varepsilon é de. Ou seja, escolhemos de igual ao menor valor entre 1 e 2varepsilon para garantir que | x^2-5 x+62 x-6 - 12 | < varepsilon sempre que |x - 3| < de.

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