Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto z = x + y i: h(z) = 2x + 3yi.

Passo 1

Então, a gente tem que provar que a função não tem derivada em nenhum ponto . Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann, que servem pra verificar se uma função é diferenciável no sentido complexo. Vamos precisar separar a função em suas partes reais e imaginárias e depois usar essas equações pra verificar a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função nas suas partes real e imaginária . Assim:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e . As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser diferenciável, devem ser válidas:
Então, vamos calcular essas derivadas:

Passo 4

Agora, vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann com as derivadas que calculamos:
  1. e
    Aqui, , então essa equação não é satisfeita.
  2. e
    Essa equação é satisfeita, pois .

Passo 5

Para a função ser diferenciável no sentido complexo, ambas as equações de Cauchy-Riemann precisam ser satisfeitas simultaneamente. No nosso caso, só uma das equações é válida.

Resposta

Como as Equações de Cauchy-Riemann não são totalmente satisfeitas para a função , podemos concluir que essa função não possui derivada em nenhum ponto .

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