Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto
:
.
Passo 1
Então, a gente tem que provar que a função
não tem derivada em nenhum ponto
. Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann, que servem pra verificar se uma função é diferenciável no sentido complexo. Vamos precisar separar a função em suas partes reais e imaginárias e depois usar essas equações pra verificar a condição.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
nas suas partes real
e imaginária
. Assim:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser diferenciável, devem ser válidas:
Então, vamos calcular essas derivadas:
Passo 4
Agora, vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann com as derivadas que calculamos:
-
e Aqui,, então essa equação não é satisfeita. -
e Essa equação é satisfeita, pois.
Passo 5
Para a função ser diferenciável no sentido complexo, ambas as equações de Cauchy-Riemann precisam ser satisfeitas simultaneamente. No nosso caso, só uma das equações é válida.
Resposta
Como as Equações de Cauchy-Riemann não são totalmente satisfeitas para a função
, podemos concluir que essa função não possui derivada em nenhum ponto
.