Seja
uma sequência de números reais tal que
para todo
. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
e indique a afirmação falsa.
(a) Esta série de potências não converge em
.
(a) Esta série de potências não converge em
Passo 1
Olhando para o enunciado, temos uma sequência de números reais
que está bem próxima de 1, já que
para todo
. Isso significa que, conforme
cresce,
se aproxima de 1. A série de potências dada é
. Vamos analisar a afirmação (a), que diz: “Esta série de potências não converge em
.” Para resolver, vamos precisar entender sobre a convergência de séries de potências, especialmente nos pontos extremos do intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar a série no ponto
. Substituindo
por
na série, temos:
Sabemos que
está muito próximo de 1, já que
. Podemos reescrever
como
, onde
. Assim:
A primeira soma,
, é uma série alternada onde os termos não tendem a zero, o que significa que essa série não converge. A segunda soma,
, é uma série absolutamente convergente porque
, que é uma série geométrica convergente.
No entanto, mesmo que a segunda soma convirja, a divergência da primeira soma faz com que o total
não convirja.
Resposta
A afirmação (a) é verdadeira.