Seja (an) uma sequência de números reais tal que |an-1| <= 2^-n para todo n in N. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
f(x)=sumn=0^infty an x^n
e indique a afirmação falsa.
(a) Esta série de potências não converge em x=-1.

Passo 1

Olhando para o enunciado, temos uma sequência de números reais (an) que está bem próxima de 1, já que |an-1| <= 2^-n para todo n in N. Isso significa que, conforme n cresce, an se aproxima de 1. A série de potências dada é f(x)=sumn=0^infty an x^n. Vamos analisar a afirmação (a), que diz: “Esta série de potências não converge em x=-1.” Para resolver, vamos precisar entender sobre a convergência de séries de potências, especialmente nos pontos extremos do intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar a série no ponto x = -1. Substituindo x por -1 na série, temos:
f(-1) = sumn=0^infty an (-1)^n
Sabemos que an está muito próximo de 1, já que |an-1| <= 2^-n. Podemos reescrever an como 1 + cn, onde |cn| <= 2^-n. Assim:
f(-1) = sumn=0^infty (1 + cn) (-1)^n = sumn=0^infty (-1)^n + sumn=0^infty cn (-1)^n
A primeira soma, sumn=0^infty (-1)^n, é uma série alternada onde os termos não tendem a zero, o que significa que essa série não converge. A segunda soma, sumn=0^infty cn (-1)^n, é uma série absolutamente convergente porque sumn=0^infty |cn| <= sumn=0^infty 2^-n, que é uma série geométrica convergente.
No entanto, mesmo que a segunda soma convirja, a divergência da primeira soma faz com que o total f(-1) não convirja.

Resposta

A afirmação (a) é verdadeira.

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