A temperatura t em um ponto (x, y) de uma placa metálica é dada por
t(x, y)=4 x^{2}+2 y^{2} .
Trace as isotermas para os valores 8,4,0,-4,-8.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa placa por
t(x,y)=4x^{2}+2y^{2}
e pede as isotermas (curvas de nível) para os valores 8,4,0,-4,-8. Vamos usar o fato de que uma isotermal de nível c é o conjunto
\{(x,y)\mid t(x,y)=c\}\,.

Passo 2

Impondo t(x,y)=c obtemos
4x^{2}+2y^{2}=c.
Para c>0 isso é a equação de uma elipse. Colocando em forma padrão, dividimos tudo por c:
\frac{x^{2}}{c/4}+\frac{y^{2}}{c/2}=1.

Passo 3

Para c=8 temos
\frac{x^{2}}{8/4}+\frac{y^{2}}{8/2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}=1,
ou seja, elipse de semi-eixo maior b=2 no eixo y e semi-eixo menor a=\sqrt{2} no eixo x.

Passo 4

Para c=4 temos
\frac{x^{2}}{4/4}+\frac{y^{2}}{4/2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+ \frac{y^{2}}{2}=1,
ou seja, elipse de semi-eixo maior b=\sqrt{2} no eixo y e semi-eixo menor a=1 no eixo x.

Passo 5

Para c=0 a equação fica
4x^{2}+2y^{2}=0,
que só admite a solução (x,y)=(0,0). A isotermal é um ponto.

Passo 6

Para c=-4 e c=-8 teríamos
4x^{2}+2y^{2}=\,\text{valor negativo},
o que não tem solução real. Portanto não há isotermas para c<0.

Resposta

Para t=8: elipse \tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{y^{2}}{4}=1 com interceptos (\pm\sqrt{2},0) e (0,\pm2).
Para t=4: elipse x^{2}+\tfrac{y^{2}}{2}=1 com interceptos (\pm1,0) e (0,\pm\sqrt{2}).
Para t=0: ponto (0,0).
Para t=-4,-8: nenhuma curva.

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