Seja f a seguinte função :
f: Dom(f) & R x & e^xx^2
a. Achar o domínio da função f.
b. Calcular (usando o Teorema de L’Hopital) lim x -infty f(x) e lim x +infty f(x).
c. Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função f.
d. Encontrar as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e justificar a resposta.
e. Provar que f.
f. Estudar a concavidade da função f.
g. Encontrar os mínimos e máximos relativos da função f (se existirem).
h. Caso achar um extremo relativo, justificar se esse extremo é um extremo global ou não.
i. Calcular as equações das tangentes ao gráfico da função (1, f(1)) no ponto (2, f(2)) e no ponto .
j. Esboçar o gráfico da função.

Passo 1

Temos uma função definida por f(x)=\frac{e{x}}{x{2}}. O conteúdo envolve análise de funções reais: domínio, limites (com L’Hôpital), derivadas, monotonicidade, assíntotas, concavidade, extremos e equações de retas tangentes. Vamos usar regra do quociente, Teorema de L’Hôpital, estudo de sinais de derivadas e derivada segunda.

Passo 2

Para achar o domínio, note que e^{x} está sempre definido e x^{2}≠0. Logo o único problema é x=0, e o domínio é Dom(f)=(-∞,0)∪(0,∞).

Passo 3

Calculando os limites: para x→-∞, como e^{x}→0 e x^{2}→+∞, temos \lim_{x→-∞}f(x)=0. Para x→+∞, escrevemos f(x)=\frac{e{x}}{x{2}} com forma ∞/∞ e aplicamos L’Hôpital duas vezes: primeiro vira \frac{e^{x}}{2x}, depois \frac{e^{x}}{2}\to+∞. Portanto \lim_{x→+∞}f(x)=+∞.

Passo 4

Derivando com a regra do quociente: f’(x)=\frac{e{x}x{2}-e{x}·2x}{x{4}}=\frac{e{x}(x{2}-2x)}{x{4}}=\frac{e{x}(x-2)}{x^{3}}. Como e^{x}>0, o sinal de f’ é o de (x-2)/x^{3}. Estudando sinais: f’>0 em (-∞,0) e em (2,∞); f’<0 em (0,2).

Passo 5

Asséntotas: em x=0, x→0± dá f(x)→+∞, logo vertical x=0. Em x→-∞, f→0, então horizontal y=0 na parte à esquerda. Em x→+∞, f→+∞, não há assíntota horizontal para x→+∞.

Passo 6

Para provar f’’(x), reescrevemos f’(x)=e{x}(x-2)x{-3} e derivamos: f’’(x)=e{x}(x-1)x{-3}-3e{x}(x-2)x{-4}, fatorando e{x}x{-4} obtemos f’’(x)=\frac{e{x}(x{2}-4x+6)}{x^{4}}, conforme pedido.

Passo 7

Como x^{4}>0 e e^{x}>0, o sinal de f’’ é o de x^{2}-4x+6. O discriminante é 16-24<0, então x^{2}-4x+6>0 sempre, e f’’(x)>0 em todo o domínio. A função é côncava para cima em (-∞,0) e em (0,∞).

Passo 8

Os únicos pontos críticos são onde f’(x)=0, ou seja x=2 (x=0 não faz parte do domínio). Como f’ muda de negativo para positivo em x=2 e f’’>0, há mínimo relativo em x=2. Não há máximos relativos. Como em (0,∞) f→+∞ em ambas as extremidades, esse mínimo é global nessa parte; mas não é mínimo global se considerarmos todo o domínio, pois em (-∞,0) f tende a zero.

Passo 9

Para a reta tangente em x_{0} usamos y-f(x_{0})=f’(x_{0})(x-x_{0}). Em x=1: f(1)=e, f’(1)=-e, logo y-e=-e(x-1) que dá y=-ex+2e. Em x=2: f(2)=e^{2}/4, f’(2)=0, logo reta horizontal y=e^{2}/4.

Passo 10

O esboço do gráfico tem duas “ramas”: em (-∞,0) parte de (0,0) e cresce até +∞ em x→0⁻; em (0,∞) começa em +∞ em x→0⁺, decresce até o mínimo (2,e^{2}/4) e depois cresce para +∞. Em toda parte é côncava para cima, com assíntotas x=0 e y=0 (à esquerda).

Resposta

a) Dom(f)=(-∞,0)∪(0,∞). b) \lim_{x→-∞}f(x)=0, \lim_{x→+∞}f(x)=+∞. c) f cresce em (-∞,0) e em (2,∞); decresce em (0,2). d) Assíntota vertical em x=0; assíntota horizontal y=0 quando x→-∞; não há assíntota horizontal em +∞. e) f’’(x)=\frac{e{x}(x{2}-4x+6)}{x^{4}}. f) f é côncava para cima em todo o domínio. g) Há mínimo relativo em x=2 (f(2)=e^{2}/4); não há máximos relativos. h) Esse mínimo é global em (0,∞), mas não global em todo o domínio. i) Tangente em (1,f(1)): y=-ex+2e; em (2,f(2)): y=e^{2}/4. j) Gráfico conforme descrito: duas ramificações, concavidade para cima, assíntotas x=0 e y=0.

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