Foco em Conceitos
A aluna A diz que, embora não consiga encontrar uma comprovação no texto, pensa que . Por exemplo, diz ela, se , então e . O aluno B discorda, pois acha que tem um contraexemplo: se , então ; podemos tomar e , de modo que . Escolha um dos lados e defenda seu ponto de vista.

Passo 1

O enunciado trata da propriedade do argumento de um número complexo e da sua conjugação: a aluna A afirma que arg(z)=-arg(z), enquanto o aluno B apresenta um “contraexemplo” usando um ramo diferente para o argumento.

Passo 2

Definimos o argumento de um número complexo z=re^itheta como o conjunto multivalorado
$$
\arg(z)={\theta+2k\pi:,k\in\mathbb{Z}}\n$$
Isto mostra que o argumento é definido módulo arg(z)=theta+2kpi:,kinZn.

Passo 3

Como se vê pela definição, se
z=r e^itheta,
então
z=r e^-itheta
Logo os valores de arg(z) são
$$
{-\theta+2k\pi:,k\in\mathbb{Z}}\n -theta+2kpi:,kinZn
\arg(\overline{z})=-\arg(z)\quad(\mathrm{mód},2\pi).
$$

Passo 4

Para obter uma igualdade sem o “módulo 2pi”, adotamos o ramo principal do argumento, geralmente escolhido como
Arg(z)in(-pi,pi]
Nesse ramo temos de fato
Arg(z)=-Arg(z)
para todo zneq0

Passo 5

O “contraexemplo” do aluno B vem de usar o ramo [0,2pi) em vez de (-pi,pi]. Ele toma arg(i)=pi/2 e arg(-i)=3pi/2, mas em (-pi,pi] teríamos arg(-i)=-pi/2, voltando ao resultado de A.

Passo 6

Concluímos que a aluna A está correta: definido o ramo principal como (-pi,pi], vale sempre arg(z)=-arg(z).

Resposta

Escolho o ponto de vista da aluna A: no ramo principal (-pi,pi], tem-se sempre arg(z)=-arg(z), e o “contraexemplo” de B é apenas consequência de outra escolha de ramo para o argumento.

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