Foco em Conceitos
A aluna A diz que, embora não consiga encontrar uma comprovação no texto, pensa que
. Por exemplo, diz ela, se
, então
e
. O aluno B discorda, pois acha que tem um contraexemplo: se
, então
; podemos tomar
e
, de modo que
. Escolha um dos lados e defenda seu ponto de vista.
A aluna A diz que, embora não consiga encontrar uma comprovação no texto, pensa que
Passo 1
O enunciado trata da propriedade do argumento de um número complexo e da sua conjugação: a aluna A afirma que
, enquanto o aluno B apresenta um “contraexemplo” usando um ramo diferente para o argumento.
Passo 2
Definimos o argumento de um número complexo
como o conjunto multivalorado
$$
\arg(z)={\theta+2k\pi:,k\in\mathbb{Z}}\n$$
Isto mostra que o argumento é definido módulo .
Isto mostra que o argumento é definido módulo
Passo 3
Como se vê pela definição, se
então
Logo os valores de
são
$$
{-\theta+2k\pi:,k\in\mathbb{Z}}\n
\arg(\overline{z})=-\arg(z)\quad(\mathrm{mód},2\pi).
$$
Passo 4
Para obter uma igualdade sem o “módulo
”, adotamos o ramo principal do argumento, geralmente escolhido como
Nesse ramo temos de fato
para todo
Passo 5
O “contraexemplo” do aluno B vem de usar o ramo
em vez de
. Ele toma
e
, mas em
teríamos
, voltando ao resultado de A.
Passo 6
Concluímos que a aluna A está correta: definido o ramo principal como
, vale sempre
.
Resposta
Escolho o ponto de vista da aluna A: no ramo principal
, tem-se sempre
, e o “contraexemplo” de B é apenas consequência de outra escolha de ramo para o argumento.