Dadas as funções f(x)=\frac{3 x-2}{x-1} e g(x)=\frac{x-1}{3-x}, determine:
(g \circ f)(x);

Passo 1

Resumo do enunciado: temos as funções
f(x)=\frac{3x-2}{x-1}
e
g(x)=\frac{x-1}{3-x},
e queremos calcular a composição (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr). O conteúdo envolvido é manipulação de frações algébricas e composição de funções.

Passo 2

Calcular o numerador de g\bigl(f(x)\bigr), ou seja,
f(x)-1 =\frac{3x-2}{x-1}-1 =\frac{3x-2-(x-1)}{x-1} =\frac{2x-1}{x-1}.

Passo 3

Calcular o denominador de g\bigl(f(x)\bigr), ou seja,
3-f(x) =3-\frac{3x-2}{x-1} =\frac{3(x-1)-(3x-2)}{x-1} =\frac{3x-3-3x+2}{x-1} =\frac{-1}{x-1}.

Passo 4

Formar a fração de g\bigl(f(x)\bigr) e simplificar:
g\bigl(f(x)\bigr) =\frac{f(x)-1}{3-f(x)} =\frac{\displaystyle\frac{2x-1}{x-1}}{\displaystyle\frac{-1}{x-1}} =\frac{2x-1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{-1} =-(2x-1) =-2x+1.

Passo 5

Verificamos as restrições de domínio: f(x) exige x\neq1. Não há outras restrições, pois f(x) nunca atinge 3, logo g(f(x)) está bem definida sempre que x\neq1.

Resposta

(g\circ f)(x)=-2x+1,\quad x\neq1.

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