Dadas as funções f(x)=\frac{3 x-2}{x-1} e g(x)=\frac{x-1}{3-x}, determine:
(f \circ f)(x);

Passo 1

O enunciado dá
f(x) = \frac{3x - 2}{x - 1}
e pede o composto (f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr). Vamos usar a definição de composição de funções: se v=f(x), então
(f\circ f)(x)=f(v)=\frac{3v-2}{\,v-1\,}\,.

Passo 2

Defina
v = f(x) = \frac{3x-2}{\,x-1\,}\,.
Substituímos esse v na expressão de f(v).

Passo 3

Calcule o numerador de f(v):
3v - 2 = 3\cdot\frac{3x-2}{x-1} - 2 = \frac{3(3x-2) - 2(x-1)}{x-1} = \frac{9x - 6 -2x +2}{x-1} = \frac{7x - 4}{x-1}\,.

Passo 4

Calcule o denominador de f(v):
v - 1 = \frac{3x-2}{x-1} - 1 = \frac{3x-2 - (x-1)}{x-1} = \frac{2x - 1}{x-1}\,.

Passo 5

Agora
(f\circ f)(x) = \frac{3v-2}{v-1} = \frac{\displaystyle\frac{7x-4}{x-1}}{\displaystyle\frac{2x-1}{x-1}} = \frac{7x-4}{2x-1}\,,
pois o fator (x-1) cancela.

Resposta

(f\circ f)(x) = \frac{7x - 4}{2x - 1}\,,\quad x\neq 1,\;\;x\neq \tfrac12.

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