Dadas as funções f(x)=\frac{3 x-2}{x-1} e g(x)=\frac{x-1}{3-x}, determine:
(g \circ g)(x);

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{x-1}{3-x}
e pede para calcular (g\circ g)(x), ou seja
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr).
O conteúdo é composição de funções, que consiste em substituir a saída de g de volta em g.

Passo 2

Pela definição de composição temos
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr) =\frac{\,g(x)-1\,}{\,3-g(x)\,}.
Vamos usar g(x)=\frac{x-1}{3-x} e calcular separadamente o numerador g(x)-1 e o denominador 3-g(x).

Passo 3

Para o numerador:
g(x)-1 =\frac{x-1}{3-x}-1 =\frac{x-1-(3-x)}{3-x} =\frac{x-1-3+x}{3-x} =\frac{2x-4}{3-x} =\frac{2(x-2)}{3-x}.

Passo 4

Para o denominador:
3-g(x) =3-\frac{x-1}{3-x} =\frac{3(3-x)-(x-1)}{3-x} =\frac{9-3x-x+1}{3-x} =\frac{10-4x}{3-x} =\frac{2(5-2x)}{3-x}.

Passo 5

Agora formamos a razão:
(g\circ g)(x) =\frac{\displaystyle\frac{2(x-2)}{3-x}} {\displaystyle\frac{2(5-2x)}{3-x}} =\frac{2(x-2)}{3-x}\cdot\frac{3-x}{2(5-2x)} =\frac{x-2}{5-2x}.

Passo 6

Quanto ao domínio, para g(x) não podemos ter x=1 nem x=3, e para g(g(x)) também não podemos ter g(x)=3, o que acontece em x=\tfrac{5}{2}. Logo o domínio de (g\circ g)(x) é todos os x\neq1,\,3,\,\tfrac{5}{2}.

Resposta

(g\circ g)(x) =\frac{x-2}{5-2x}, \quad x\neq1,\,3,\,\tfrac{5}{2}.

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