Determine o domínio das seguintes funções:
g(x)=\frac{3 x-4}{\sqrt{x^{3}-4 x}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
g(x)=\frac{3x-4}{\sqrt{x^{3}-4x}}.
O conteúdo aqui é análise de domínio de função envolvendo raiz quadrada no denominador. Como temos uma raiz no denominador, precisaremos garantir que o radicando seja estritamente positivo (não pode ser zero nem negativo).

Passo 2

Para que a expressão esteja bem definida, devemos ter
x^{3}-4x>0.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade
x^{3}-4x>0.
Primeiro, fatoramos o polinômio:
x^{3}-4x = x\,(x^{2}-4) = x\,(x-2)\,(x+2).
Os zeros dessa expressão são x=-2, x=0 e x=2. Esses valores dividem a reta em quatro intervalos. Fazendo análise de sinal em cada um:
  • Em (-\infty,-2): x<0, x-2<0, x+2<0 ⇒ produto negativo.
  • Em (-2,0): x<0, x-2<0, x+2>0 ⇒ produto positivo.
  • Em (0,2): x>0, x-2<0, x+2>0 ⇒ produto negativo.
  • Em (2,\infty): x>0, x-2>0, x+2>0 ⇒ produto positivo.

Passo 4

Como queremos x\,(x-2)\,(x+2)>0, os intervalos válidos são
(-2,0)\quad\text{e}\quad(2,\infty).

Resposta

O domínio de g é
(-2,0)\,\cup\,(2,\infty).

Exercícios relacionados