Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\frac{9 x{2}-x{4}}{\left(1-x{2}\right){2}}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{9x^{2}-x^{4}}{(1-x^{2})^{2}}}.
Para definir o domínio, precisamos que o radicando seja não-negativo e que o denominador da fração dentro da raiz não seja zero.

Passo 2

Analisando o denominador, temos o termo (1-x^{2})^{2}. Como um quadrado é sempre não-negativo, o único problema de divisão por zero ocorre quando
1-x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Portanto devemos excluir x=\pm1.

Passo 3

Exigimos que o radicando seja maior ou igual a zero:
\frac{9x^{2}-x^{4}}{(1-x^{2})^{2}}\ge0.
Para x\neq\pm1 o denominador é positivo, logo o sinal do quociente é o sinal do numerador. Definindo
N(x)=9x^{2}-x^{4}=x^{2}(9-x^{2}),
temos N(x)\ge0 se e só se
x^{2}\ge0\quad\text{e}\quad9-x^{2}\ge0.
Como x^{2}\ge0 é sempre verdade, basta 9-x^{2}\ge0, ou seja
x^{2}\le9\quad\Longrightarrow\quad -3\le x\le3.

Passo 4

Unindo as restrições, x deve satisfazer -3\le x\le3 e x\neq\pm1.

Resposta

O domínio de f é
[-3,-1)\,\cup\,(-1,1)\,\cup\,(1,3].

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