Dadas as funções f(x)=\frac{3 x-2}{x-1} e g(x)=\frac{x-1}{3-x}, determine:
(f \circ g)(x);

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=\frac{3x-2}{x-1}
e
g(x)=\frac{x-1}{3-x}
e pede a composição (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr). O conteúdo envolve uso da definição de composição de funções racionais e simplificação algébrica de frações.

Passo 2

Pela definição de composição,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) =\frac{3\,g(x)-2}{g(x)-1}.

Passo 3

Primeiro calculamos o numerador 3\,g(x)-2:
3\,g(x)-2 =3\cdot\frac{x-1}{3-x}-2 =\frac{3(x-1)-2(3-x)}{3-x} =\frac{3x-3-6+2x}{3-x} =\frac{5x-9}{3-x}.

Passo 4

Agora calculamos o denominador g(x)-1:
g(x)-1 =\frac{x-1}{3-x}-1 =\frac{x-1-(3-x)}{3-x} =\frac{x-1-3+x}{3-x} =\frac{2x-4}{3-x} =\frac{2(x-2)}{3-x}.

Passo 5

Dividindo as duas frações, as partes 3-x se cancelam:
(f\circ g)(x) =\frac{\displaystyle\frac{5x-9}{3-x}}{\displaystyle\frac{2(x-2)}{3-x}} =\frac{5x-9}{2(x-2)}.
Note que, para a expressão fazer sentido, x\neq3 (evita divisão em g) e x\neq2 (evita divisão no resultado).

Resposta

(f\circ g)(x)=\frac{5x-9}{2(x-2)},\quad x\neq2,\,x\neq3.

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