Dadas as funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=2 x-1 :
a) Determine o domínio e imagem de f e g.
b) Construa os gráficos de f e g.
c) Calcule f / g e determine o seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
  • f(x)=x^{2}-1.
  • g(x)=2x-1.
As perguntas são:
(a) Determinar o domínio e a imagem de f e de g.
(b) Construir os gráficos de f e g.
(c) Calcular f/g (ou seja, a função \dfrac{f(x)}{g(x)}) e determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As fórmulas explícitas de f e g foram fornecidas acima.
  • Não há restrições adicionais no enunciado (por exemplo, raízes quadradas ou logaritmos que limitem o domínio).

Passo 2

Domínio e imagem: ideia geral (mini-aula rápida)
  • Domínio de uma função: conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão da função faz sentido (não divide por zero, não entra log de número não-positivo, etc.).
  • Imagem (ou contradomínio efetivo): conjunto de valores que a função realmente atinge quando x varia pelo domínio.
    Vou aplicar isso a cada função.

Passo 3

Analisando f(x)=x^{2}-1:
  • Domínio: f é um polinômio (parabéns: polinômios estão definidos para todo x real). Logo o domínio é
\mathbb{R}.
  • Para achar a imagem, uso completar o quadrado (método clássico para parábolas) para ver o mínimo/máximo da função.
    Completo o quadrado em x^{2}-1:
x^{2}-1=(x-0)^{2}-1.
Como (x-0)^{2}\ge 0 para todo x, o menor valor que (x-0)^{2}-1 pode tomar é -1, atingido quando x=0. A parábola abre para cima (coeficiente de x^{2} é 1>0), então não há máximo, só mínimo. Portanto a imagem é
[-1,\infty).
  • Pontos notáveis (úteis para o gráfico): raízes (soluções de x^{2}-1=0) são x=\pm 1. Valor em x=0 é -1 (vértice). Assim f(-1)=0,\; f(0)=-1,\; f(1)=0.

Passo 4

Analisando g(x)=2x-1:
  • Domínio: g é um polinómio (função linear), logo está definida para todo real:
\mathbb{R}.
  • Imagem: função linear com coeficiente angular 2 (não nulo) assume todos os valores reais quando x varia em \mathbb{R}. Formalmente, dada qualquer y\in\mathbb{R} pode-se resolver y=2x-1\Rightarrow x=(y+1)/2, então existe x para qualquer y. Logo a imagem é
\mathbb{R}.
  • Pontos notáveis: intercepto em y quando x=0 é g(0)=-1. Cruzamento com o eixo x (resolver 2x-1=0) dá x=\tfrac{1}{2}, ou seja g(\tfrac{1}{2})=0.

Passo 5

Construindo o gráfico de f (instruções passo a passo):
  1. Tipo: parábola com concavidade para cima (porque coeficiente de x^{2} é 1>0).
  2. Vértice: em (0,-1) (do passo anterior). Eixo de simetria: reta x=0.
  3. Raízes: (-1,0) e (1,0). Valor mínimo f(0)=-1.
  4. Alguns pontos para esboço (mesa de valores):
\begin{aligned} x=-2 &\Rightarrow f(-2)=(-2)^{2}-1=4-1=3,\\\ x=-1 &\Rightarrow f(-1)=0,\\\ x=0 &\Rightarrow f(0)=-1,\\\ x=1 &\Rightarrow f(1)=0,\\\ x=2 &\Rightarrow f(2)=3. \end{aligned}
  1. Desenho: marque o vértice (0,-1), os pontos acima e trace uma curva suave em forma de U passando por eles e simétrica em relação a x=0.

Passo 6

Construindo o gráfico de g (instruções passo a passo):
  1. Tipo: reta. Coeficiente angular (inclinação) m=2 significa que ao aumentar x de 1 unidade, g(x) aumenta 2 unidades.
  2. Intercepto em y: g(0)=-1. Intercepto em x: x=\tfrac{1}{2}.
  3. Dois pontos suficientes para desenhar a reta: por exemplo (0,-1) e (1,1) (porque g(1)=2\cdot1-1=1).
  4. Desenho: marque (0,-1) e (1,1) e trace a reta passando por eles; ela se estende indefinidamente nas duas direções.
Observação prática: os gráficos de f e g se cruzam nos pontos onde x^{2}-1=2x-1, ou seja onde x^{2}-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0, dando interseções em x=0 e x=2. Então seguem os pontos de interseção (0,-1) e (2,3) — bom para confirmar o desenho.

Passo 7

Calculando a função f/g:
A função pedida é
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^{2}-1}{2x-1}.
Posso factorar o numerador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
então
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(x-1)(x+1)}{2x-1}.
Não há fator comum entre numerador e denominador (o denominador é 2x-1, que não é proporcional a x-1 nem a x+1), portanto NÃO se cancela nada; essa é a forma simplificada da função racional.
Opcional (útil para entender o gráfico): fazer divisão de polinômios para escrever como parte polinomial mais resto sobre divisor (assim fica evidente a assíntota oblíqua). Dividindo x^{2}-1 por 2x-1 obtém-se:
\frac{x^{2}-1}{2x-1}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{3/4}{2x-1}.
Detalhes rápidos da divisão:
  • Primeiro termo do quociente: \tfrac{1}{2}x porque \tfrac{x^{2}}{2x}=\tfrac{1}{2}x.
  • Subtraindo e prosseguindo chega-se ao quociente \tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4} e resto -\tfrac{3}{4}.
    Isso mostra que a assíntota oblíqua (reta que a função se aproxima quando |x|\to\infty) é y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}, e há uma assíntota vertical onde 2x-1=0, ou seja em x=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Domínio de \dfrac{f}{g}:
  • Para \dfrac{f(x)}{g(x)} existir, é preciso que g(x)\neq 0 e que x esteja no domínio de f e de g. Como ambos f e g são definidos para todo \mathbb{R}, a única restrição vem de g(x)\neq 0.
  • Resolver g(x)=0:
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Portanto o domínio é
\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{2}\right\}.

Passo 9

Resumo final e dicas para a prova (curta motivação):
  • Decore que polinômios têm domínio \mathbb{R}. Para imagem de parábolas, use completar o quadrado para encontrar mínimo ou máximo. Para racionais, o domínio exclui zeros do denominador.
  • Se pedir esboço, marque vértice/raízes para parábola e dois pontos + inclinação para reta; para a racional, marque assíntotas (verticais onde denominador zero e oblíquas via divisão de polinômios) e comportamento em extremos.

Resposta

(a) Domínio e imagem:
  • f: dom (f)=\mathbb{R}. im (f)=[-1,\infty).
  • g: dom (g)=\mathbb{R}. im (g)=\mathbb{R}.
(b) Gráficos (descrição sucinta):
  • f(x)=x^{2}-1: parábola com vértice em (0,-1), abre para cima, raízes em (-1,0) e (1,0), simétrica em x=0.
  • g(x)=2x-1: reta de inclinação 2, intercepto em y dado por (0,-1), intercepto em x em \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr).
(c) Função quociente e domínio:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^{2}-1}{2x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{2x-1},
dom \displaystyle\!\left(\frac{f}{g}\right)=\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{2}\right\}.

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