Dadas as funções
e
:
a) Determine o domínio e imagem de
e
.
b) Construa os gráficos de
e
.
c) Calcule
e determine o seu domínio.
a) Determine o domínio e imagem de
b) Construa os gráficos de
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
-
. -
.
As perguntas são:
(a) Determinar o domínio e a imagem de e de
.
(b) Construir os gráficos de e
.
(c) Calcular (ou seja, a função
) e determinar o domínio dessa função.
(a) Determinar o domínio e a imagem de
(b) Construir os gráficos de
(c) Calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As fórmulas explícitas de
e foram fornecidas acima. - Não há restrições adicionais no enunciado (por exemplo, raízes quadradas ou logaritmos que limitem o domínio).
Passo 2
Domínio e imagem: ideia geral (mini-aula rápida)
- Domínio de uma função: conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão da função faz sentido (não divide por zero, não entra log de número não-positivo, etc.). - Imagem (ou contradomínio efetivo): conjunto de valores que a função realmente atinge quando
varia pelo domínio.
Vou aplicar isso a cada função.
Passo 3
Analisando
:
- Domínio:
é um polinômio (parabéns: polinômios estão definidos para todo real). Logo o domínio é
- Para achar a imagem, uso completar o quadrado (método clássico para parábolas) para ver o mínimo/máximo da função.
Completo o quadrado em:
Como
para todo
, o menor valor que
pode tomar é
, atingido quando
. A parábola abre para cima (coeficiente de
é
), então não há máximo, só mínimo. Portanto a imagem é
- Pontos notáveis (úteis para o gráfico): raízes (soluções de
) são . Valor em é (vértice). Assim .
Passo 4
Analisando
:
- Domínio:
é um polinómio (função linear), logo está definida para todo real:
- Imagem: função linear com coeficiente angular
(não nulo) assume todos os valores reais quando varia em . Formalmente, dada qualquer pode-se resolver , então existe para qualquer . Logo a imagem é
- Pontos notáveis: intercepto em
quando é . Cruzamento com o eixo (resolver ) dá , ou seja .
Passo 5
Construindo o gráfico de
(instruções passo a passo):
- Tipo: parábola com concavidade para cima (porque coeficiente de
é ). - Vértice: em
(do passo anterior). Eixo de simetria: reta . - Raízes:
e . Valor mínimo . - Alguns pontos para esboço (mesa de valores):
- Desenho: marque o vértice
, os pontos acima e trace uma curva suave em forma de U passando por eles e simétrica em relação a .
Passo 6
Construindo o gráfico de
(instruções passo a passo):
- Tipo: reta. Coeficiente angular (inclinação)
significa que ao aumentar de unidade, aumenta unidades. - Intercepto em
: . Intercepto em : . - Dois pontos suficientes para desenhar a reta: por exemplo
e (porque ). - Desenho: marque
e e trace a reta passando por eles; ela se estende indefinidamente nas duas direções.
Observação prática: os gráficos de
e
se cruzam nos pontos onde
, ou seja onde
, dando interseções em
e
. Então seguem os pontos de interseção
e
— bom para confirmar o desenho.
Passo 7
Calculando a função
:
A função pedida é
A função pedida é
Posso factorar o numerador:
então
Não há fator comum entre numerador e denominador (o denominador é
, que não é proporcional a
nem a
), portanto NÃO se cancela nada; essa é a forma simplificada da função racional.
Opcional (útil para entender o gráfico): fazer divisão de polinômios para escrever como parte polinomial mais resto sobre divisor (assim fica evidente a assíntota oblíqua). Dividindo
por
obtém-se:
Detalhes rápidos da divisão:
- Primeiro termo do quociente:
porque . - Subtraindo e prosseguindo chega-se ao quociente
e resto .
Isso mostra que a assíntota oblíqua (reta que a função se aproxima quando) é , e há uma assíntota vertical onde , ou seja em .
Passo 8
Domínio de
:
- Para
existir, é preciso que e que esteja no domínio de e de . Como ambos e são definidos para todo , a única restrição vem de . - Resolver
:
Portanto o domínio é
Passo 9
Resumo final e dicas para a prova (curta motivação):
- Decore que polinômios têm domínio
. Para imagem de parábolas, use completar o quadrado para encontrar mínimo ou máximo. Para racionais, o domínio exclui zeros do denominador. - Se pedir esboço, marque vértice/raízes para parábola e dois pontos + inclinação para reta; para a racional, marque assíntotas (verticais onde denominador zero e oblíquas via divisão de polinômios) e comportamento em extremos.
Resposta
(a) Domínio e imagem:
-
: dom . im . -
: dom . im .
(b) Gráficos (descrição sucinta):
-
: parábola com vértice em , abre para cima, raízes em e , simétrica em . -
: reta de inclinação , intercepto em dado por , intercepto em em .
(c) Função quociente e domínio:
dom
.