Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis v=y / x :
x^{2} \frac{d y}{d x}=x^{2}+3 x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}\frac{dy}{dx}=x^{2}+3xy+y^{2}
e pede para resolvê‑la fazendo a mudança de variáveis \;v=\dfrac{y}{x}\;.
Informações / objetivo claras:
  • Temos uma equação para y(x) e devemos usar a substituição \;v=\dfrac{y}{x}\;.
  • Implicações práticas: ao usar v=\dfrac{y}{x} teremos y=vx e precisaremos expressar \dfrac{dy}{dx} em termos de v e \dfrac{dv}{dx}.
  • Atenção: essa mudança exige x\neq 0. Também devemos verificar se existem soluções especiais (constantes) que a separação pode eliminar.

Passo 2

Fazer a mudança de variáveis e calcular \dfrac{dy}{dx}.
Definindo y=vx temos, por regra do produto,
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação dada:
x^{2}\biggl(v + x\frac{dv}{dx}\biggr)=x^{2}+3x(vx)+(vx)^{2}.
Agora simplificar o lado direito:
x^{2}\biggl(v + x\frac{dv}{dx}\biggr)=x^{2}+3v x^{2}+v^{2}x^{2}=x^{2}\bigl(1+3v+v^{2}\bigr).
Dividindo por x^{2} (lembre: x\neq0):
v + x\frac{dv}{dx}=1+3v+v^{2}.
Isolando \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=1+2v+v^{2}=(v+1)^{2}.

Passo 3

Separar variáveis e integrar. Aqui já temos uma equação separável:
\frac{dv}{(v+1)^{2}}=\frac{dx}{x}.
Explicando a técnica: separar variáveis significa agrupar todos os fatores com v no lado esquerdo e todos os fatores com x no lado direito, para poder integrar cada lado em sua variável (isto é útil quando a equação permite essa separação).
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}}=\int \frac{dx}{x}.
Calcule a integral à esquerda. A primitiva de (v+1)^{-2} é -(v+1)^{-1}, porque \dfrac{d}{dv}\bigl[-(v+1)^{-1}\bigr]=(v+1)^{-2}. Portanto:
-\frac{1}{v+1}=\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Resolver explicitamente para v e voltar a y.
A partir de
-\frac{1}{v+1}=\ln|x|+C
podemos inverter os sinais para simplificar a constante. Defina C_{1}=-C; então
\frac{1}{v+1}=C_{1}-\ln|x|.
Desde que C_{1}-\ln|x|\neq0, temos
v+1=\frac{1}{C_{1}-\ln|x|}, \qquad v=\frac{1}{C_{1}-\ln|x|}-1.
Voltando à variável original y com y=vx:
y=x\biggl(\frac{1}{C_{1}-\ln|x|}-1\biggr)=\frac{x}{C_{1}-\ln|x|}-x.

Passo 5

Analisar soluções especiais e domínio.
  1. Solução geral (família com constante C_{1}):
y=\frac{x}{C_{1}-\ln|x|}-x,
válida quando x\neq0 e C_{1}-\ln|x|\neq0.
  1. Solução singular detectada antes da separação: se v\equiv-1 (ou seja y=-x) então (v+1)^{2}=0 e a equação reduzida é satisfeita com \dfrac{dv}{dx}=0. Logo \;y=-x\; é uma solução particular que ficou fora da separação na forma \dfrac{1}{v+1}. Deve ser listada separadamente.
Observações de domínio: como mencionado, a mudança v=y/x exige x\neq0. Além disso, pontos onde C_{1}-\ln|x|=0 produziriam singularidade na expressão encontrada — nesses pontos a solução dada pela fórmula não é definida (poderiam ser lugares onde a solução explode).
Força aí — a solução principal está pronta e também identificamos a solução especial y=-x.

Resposta

y=\frac{x}{C_{1}-\ln|x|}-x
y=-x

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