Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la fazendo a mudança de variáveis
.
Informações / objetivo claras:
Informações / objetivo claras:
- Temos uma equação para
e devemos usar a substituição . - Implicações práticas: ao usar
teremos e precisaremos expressar em termos de e . - Atenção: essa mudança exige
. Também devemos verificar se existem soluções especiais (constantes) que a separação pode eliminar.
Passo 2
Fazer a mudança de variáveis e calcular
.
Definindo
temos, por regra do produto,
Substituindo na equação dada:
Agora simplificar o lado direito:
Dividindo por
(lembre:
):
Isolando
:
Passo 3
Separar variáveis e integrar. Aqui já temos uma equação separável:
Explicando a técnica: separar variáveis significa agrupar todos os fatores com
no lado esquerdo e todos os fatores com
no lado direito, para poder integrar cada lado em sua variável (isto é útil quando a equação permite essa separação).
Integrando ambos os lados:
Calcule a integral à esquerda. A primitiva de
é
, porque
. Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Resolver explicitamente para
e voltar a
.
A partir de
podemos inverter os sinais para simplificar a constante. Defina
; então
Desde que
, temos
Voltando à variável original
com
:
Passo 5
Analisar soluções especiais e domínio.
- Solução geral (família com constante
):
válida quando
e
.
- Solução singular detectada antes da separação: se
(ou seja ) então e a equação reduzida é satisfeita com . Logo é uma solução particular que ficou fora da separação na forma . Deve ser listada separadamente.
Observações de domínio: como mencionado, a mudança
exige
. Além disso, pontos onde
produziriam singularidade na expressão encontrada — nesses pontos a solução dada pela fórmula não é definida (poderiam ser lugares onde a solução explode).
Força aí — a solução principal está pronta e também identificamos a solução especial
.