Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis v=y / x :
x \frac{d y}{d x}=y+\sqrt{y^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}=y+\sqrt{y^{2}-x^{2}}
e pede que se resolva fazendo a mudança de variáveis v=y/x.
Informações e pedidos claros:
  • Substituir v=\dfrac{y}{x}.
  • Resolver a equação e obter y(x).
  • Notar as condições de existência da raiz quadrada \sqrt{y^{2}-x^{2}} (domínio da solução).
  • Atenção aos casos especiais que possam ser perdidos ao dividir por quantidades que podem ser zero.
Não resolveremos nada neste passo, apenas listei o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Fazendo a mudança v=\dfrac{y}{x}. Então
y=vx.
Derivando em relação a x usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Agora substituímos y e \dfrac{dy}{dx} na equação original. No lado direito temos a raiz:
\sqrt{y^{2}-x^{2}}=\sqrt{(vx)^{2}-x^{2}}=\sqrt{x^{2}(v^{2}-1)}=\lvert x\rvert\sqrt{v^{2}-1}.
Observação importante (didática e prática): \sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert. Para simplificar a escrita da integração, vamos primeiro tratar o caso x>0, em que \lvert x\rvert=x. (Se x<0 a técnica é análoga e leva a resultados com o mesmo tipo de constante; mais abaixo comentamos isso.) Também é necessário que v^{2}-1\ge 0 para que a raiz seja real, ou seja, \lvert v\rvert\ge 1.
Com x>0 a substituição dá:
x\bigg(v + x\frac{dv}{dx}\bigg)=vx + x\sqrt{v^{2}-1}.

Passo 3

Simplificamos a equação do passo anterior:
xv + x^{2}\frac{dv}{dx} = vx + x\sqrt{v^{2}-1}.
Cancelamos xv dos dois lados (isso é legítimo porque é a mesma expressão):
x^{2}\frac{dv}{dx}=x\sqrt{v^{2}-1}.
Como estamos assumindo x\neq 0, dividimos por x:
x\frac{dv}{dx}=\sqrt{v^{2}-1}.
Esta é uma equação separável em v e x. Separamos as variáveis:
\frac{dv}{\sqrt{v^{2}-1}}=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Preciso explicar a integral do lado esquerdo: \displaystyle\int \dfrac{dv}{\sqrt{v^{2}-1}} é uma integral padrão cuja primitiva pode ser escrita como \operatorname{arcosh}(v) (quando v\ge1) ou, alternativamente, usando logaritmo:
\int \frac{dv}{\sqrt{v^{2}-1}}=\ln\bigl|v+\sqrt{v^{2}-1}\bigr| + C.
(Explicação rápida: derivando \ln(v+\sqrt{v^{2}-1}) obtém-se \dfrac{1}{\sqrt{v^{2}-1}}.)
Integrando o lado direito:
\int \frac{dx}{x}=\ln|x| + C.
Portanto, igualando as primitivas:
\ln\bigl|v+\sqrt{v^{2}-1}\bigr|=\ln|x| + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
\bigl|v+\sqrt{v^{2}-1}\bigr| = C_{2}\,|x|,
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Podemos incorporar o sinal em uma constante geral C que pode ser qualquer número não nulo e escrever de forma mais simples (isto é usual em EDOs):
v+\sqrt{v^{2}-1}=C x,
com C constante arbitrária não nula (o sinal/valor de C cobre os casos de |\cdot| e de x positivo ou negativo). Esta é uma relação entre v e x. Agora isolamos v. Defina s=\sqrt{v^{2}-1}. Da equação temos s=Cx-v. Elevando ao quadrado:
v^{2}-1=(Cx-v)^{2}=C^{2}x^{2}-2C x v + v^{2}.
Cancela-se v^{2} em ambos os lados, resultando em
-1=C^{2}x^{2}-2C x v.
Rearranjando para v:
2C x v = C^{2}x^{2}+1
v = \frac{C x}{2} + \frac{1}{2C x}.
Lembre que v=\dfrac{y}{x}. Substituímos de volta para obter y.

Passo 5

Substituindo v=\dfrac{y}{x} na expressão anterior:
\frac{y}{x}=\frac{C x}{2} + \frac{1}{2C x}.
Multiplicando por x (novamente x\neq 0):
y=\frac{C}{2}x^{2}+\frac{1}{2C}.
Esta é a solução geral obtida pela mudança de variável, válida para x\neq 0 e para constantes C\neq 0. Sobre o domínio: lembrando que exigimos \sqrt{v^{2}-1} real, a constante C e x devem ser tais que a expressão para v satisfaça \lvert v\rvert\ge 1 — isso normalmente é garantido pela construção a partir da identidade exponenciada, mas convém observar que a equação original não é definida em pontos onde y^{2}-x^{2}<0.
Além disso, existem soluções singulares que foram “perdidas” quando dividimos por certas quantidades. Verifiquemos as possíveis retas y=kx. Se y=kx então \sqrt{y^{2}-x^{2}}=\lvert x\rvert\sqrt{k^{2}-1} e a equação original exige
x\cdot k = kx + \lvert x\rvert\sqrt{k^{2}-1},
ou seja \lvert x\rvert\sqrt{k^{2}-1}=0. Para x\neq 0 isso força k^{2}-1=0, ou seja k=\pm 1. Assim as retas
y=x\quad\text{e}\quad y=-x
são soluções particulares (elas satisfazem a equação para todos os x). Essas duas linhas aparecem como casos limites com \sqrt{v^{2}-1}=0 ( v=\pm 1) e devem ser incluídas na família de soluções.

Resposta

y=\dfrac{C}{2}\,x^{2}+\dfrac{1}{2C}, com C\neq 0 (solução geral, válida para x\neq 0)
y=x
y=-x

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