Dadas as funções
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}+2 & \text { se } & x \leq-1 \\\ \frac{1}{x-2} & \text { se } & -1<x<1 \\\\ 4-x^{2} & \text { se } & x \geq 1 \end{array} \quad \text { e } \quad g(x)=2-3 x\right.
determine as leis que definem f \circ g e g \circ f.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)= \begin{cases} x^{2}+2 & \text{se }x\le -1,\\\ \dfrac{1}{x-2} & \text{se }-1<x<1,\\\\ 4-x^{2} & \text{se }x\ge 1, \end{cases} \quad g(x)=2-3x,
e pede as composições f\circ g e g\circ f. O conteúdo é composição de funções e, para f\circ g, precisamos achar em que intervalos de x vale cada ramo de f aplicado a g(x). Para g\circ f, substituímos f(x) em g.

Passo 2

Definimos y=g(x)=2-3x. Os ramos de f são ativados conforme
  1. y\le -1,
  2. -1<y<1,
  3. y\ge 1.
    Precisamos resolver essas desigualdades em termos de x.

Passo 3

Resolver cada caso:
  1. [y\le -1 \implies 2-3x\le -1 \implies -3x\le -3 \implies x\ge 1).
  2. (-1<y<1 \implies \begin{cases}2-3x>-1,\\\ 2-3x<1\end{cases} \implies \begin{cases}x<1,\x>1/3\end{cases} \implies 1/3<x<1].
  3. y\ge 1 \implies 2-3x\ge 1 \implies -3x\ge -1 \implies x\le 1/3.

Passo 4

Agora aplicamos f(y) a cada ramo com y=2-3x:
  • Se x\ge 1, então y\le -1 e
(f\circ g)(x)=y^{2}+2=(2-3x)^{2}+2.
  • Se 1/3<x<1, então -1<y<1 e
(f\circ g)(x)=\frac{1}{y-2} =\frac{1}{(2-3x)-2} =\frac{1}{-3x} =-\frac{1}{3x}.
  • Se x\le 1/3, então y\ge 1 e
(f\circ g)(x)=4-y^{2} =4-(2-3x)^{2}.

Passo 5

Para g\circ f, usamos diretamente g(u)=2-3u com u=f(x). Há três ramos de f(x):
  • Se x\le -1, então f(x)=x^{2}+2 e
(g\circ f)(x)=2-3\bigl(x^{2}+2\bigr) =2-3x^{2}-6 =-3x^{2}-4.
  • Se -1<x<1, então f(x)=\frac{1}{x-2} e
(g\circ f)(x)=2-3\cdot\frac{1}{x-2} =2-\frac{3}{x-2}.
  • Se x\ge 1, então f(x)=4-x^{2} e
(g\circ f)(x)=2-3\bigl(4-x^{2}\bigr) =2-12+3x^{2} =3x^{2}-10.

Resposta

f\circ g\) é dada por \[(f\circ g)(x)= \begin{cases} (2-3x)^{2}+2, & x\ge 1,\\[6pt] -\dfrac{1}{3x}, & \tfrac{1}{3}<x<1,\\[6pt] 4-(2-3x)^{2}, & x\le \tfrac{1}{3}, \end{cases}
e (g\circ f] é
(g\circ f)(x)= \begin{cases} -3x^{2}-4, & x\le -1,\\[6pt] 2-\dfrac{3}{x-2}, & -1<x<1,\\[6pt] 3x^{2}-10, & x\ge 1. \end{cases}]

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