Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspita aplicar, explique o porquê.
lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} \cdot e^{\frac{-x}{2}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \sqrt{x}\,e^{-\tfrac{x}{2}}.
Este é um caso em que uma função polinomial (a raiz) está multiplicada por uma decaída exponencial. Sabemos que exponenciais crescem ou decaem muito mais rápido que polinômios, mas vamos usar a Regra de l’Hôspital para justificar de forma rigorosa.

Passo 2

Reescrevemos o produto como quociente para obtermos a forma indeterminada “ \infty/\infty”:
\sqrt{x}\,e^{-\tfrac{x}{2}} =\frac{\sqrt{x}}{e^{\tfrac{x}{2}}}.
Quando x\to+\infty, o numerador \sqrt{x}\to+\infty e o denominador e^{x/2}\to+\infty. Logo temos “ \infty/\infty” e podemos aplicar a Regra de l’Hôspital.

Passo 3

Aplicando l’Hôspital, diferenciamos em relação a x:
  • Numerador: \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Denominador: \frac{d}{dx}\bigl(e^{\tfrac{x}{2}}\bigr)=\tfrac12\,e^{\tfrac{x}{2}}.
    O quociente das derivadas é
\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\tfrac12\,e^{\tfrac{x}{2}}} =\frac{1}{\sqrt{x}\,e^{\tfrac{x}{2}}}.

Passo 4

Agora avaliamos \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\,e^{\tfrac{x}{2}}}.
O denominador \sqrt{x}\,e^{x/2} cresce sem limite (pois e^{x/2} domina \sqrt{x}), então o quociente vai a zero.

Resposta

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