Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspita aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede
.
Este é um caso em que uma função polinomial (a raiz) está multiplicada por uma decaída exponencial. Sabemos que exponenciais crescem ou decaem muito mais rápido que polinômios, mas vamos usar a Regra de l’Hôspital para justificar de forma rigorosa.
Este é um caso em que uma função polinomial (a raiz) está multiplicada por uma decaída exponencial. Sabemos que exponenciais crescem ou decaem muito mais rápido que polinômios, mas vamos usar a Regra de l’Hôspital para justificar de forma rigorosa.
Passo 2
Reescrevemos o produto como quociente para obtermos a forma indeterminada “
”:
Quando
, o numerador
e o denominador
. Logo temos “
” e podemos aplicar a Regra de l’Hôspital.
Passo 3
Aplicando l’Hôspital, diferenciamos em relação a
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O quociente das derivadas é
Passo 4
Agora avaliamos
.
O denominador cresce sem limite (pois
domina
), então o quociente vai a zero.
O denominador