Estude a variação de sinal (f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0 ) das seguintes funções:
f(x)=-x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede estudar a variação de sinal de f(x)=-x^2+4x. O conteúdo é o estudo de sinal de uma função polinomial de segundo grau. Para resolver, vamos encontrar as raízes de f(x) (onde f(x)=0) e analisar a concavidade para determinar onde f(x) é positiva ou negativa.

Passo 2

Vamos resolver f(x)=0. Fatorando:
f(x)=-x^2+4x=-x(x-4).
Logo, as raízes são x=0 e x=4.

Passo 3

O coeficiente líder é -1, que é negativo, então a parábola tem concavidade para baixo. Isso implica que:
  • Entre as raízes (entre 0 e 4) a função fica acima do eixo x, logo f(x)>0.
  • Fora das raízes (para x<0 e para x>4) a função fica abaixo do eixo x, logo f(x)<0.

Passo 4

Concluindo:
  • f(x)>0 para 0<x<4.
  • f(x)=0 em x=0 ou x=4.
  • f(x)<0 para x<0 ou x>4.

Resposta

f(x)>0 em (0,4); f(x)=0 em x=0,4; f(x)<0 em (-\infty,0)\cup(4,\infty).

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