Dadas as funções:
f(x)=\frac{x^{2}-x+6}{x-2}, g(x)=\frac{\sqrt{9+x}-3}{x} \text { e } h(x)=\frac{4-\sqrt{x}}{16 x-x^{2}} .
Analise as afirmativas seguintes.
I. \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-x+6}{x-2}\right)=1
II. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}\right)=\frac{1}{6}
III. \lim _{x \rightarrow 16}\left(\frac{4-\sqrt{x}}{16 x-x^{2}}\right)=\frac{1}{128}
É correto o que se afirma em:

Alternativas

I apenas.
II apenas.
I e ll apenas.
II e III apenas.
I, II e III.

Passo 1

O enunciado apresenta três funções e pede para verificar se as seguintes afirmativas sobre limites são verdadeiras ou falsas:
I. \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x+6}{x-2}=1
II. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}=\tfrac{1}{6}
III. \displaystyle \lim_{x\to 16}\frac{4-\sqrt{x}}{16x - x^{2}}=\tfrac{1}{128}
O conteúdo principal aqui é cálculo de limites, usando cobrança de limites infinitos e técnicas de racionalização.

Passo 2

Analisando I:
f(x)=\frac{x^{2}-x+6}{x-2}.
Ao aproximar x\to 2, o numerador tende a
2^{2}-2+6=8,
enquanto o denominador tende a zero. Logo a fração diverge para \pm\infty (não existe limite finito igual a 1).
Portanto, a afirmativa I é falsa.

Passo 3

Analisando II:
g(x)=\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}.
Para x\to 0 temos forma 0/0. Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por \sqrt{9+x}+3:
\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}\;\times\;\frac{\sqrt{9+x}+3}{\sqrt{9+x}+3} =\frac{9+x-9}{\,x\bigl(\sqrt{9+x}+3\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{9+x}+3}.
Agora basta x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{9+x}+3} =\frac{1}{3+3} =\tfrac{1}{6}.
Logo, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III:
h(x)=\frac{4-\sqrt{x}}{16x - x^{2}} =\frac{4-\sqrt{x}}{x(16-x)}.
Também é forma 0/0 ao x\to 16. Racionalizamos o numerador:
4-\sqrt{x}=\frac{(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})}{4+\sqrt{x}} =\frac{16-x}{4+\sqrt{x}},
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h(x) =\frac{16-x}{\bigl(4+\sqrt{x}\bigr)\,x\,(16-x)} =\frac{1}{x\,(4+\sqrt{x})}.
Avaliar em x=16:
\lim_{x\to16}h(x) =\frac{1}{16\,(4+4)} =\frac{1}{16\cdot 8} =\tfrac{1}{128}.
Portanto, a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

II e III apenas.

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