Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
usando série de potências centrada em
. Para isso, vamos assumir
e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro, calculemos as derivadas em série:
Também temos
Substituindo tudo na EDO, obtemos
Passo 3
Para agrupar potências iguais de
convertemos a última soma:
Agora as três somas dão termos em
:
- Para
e não há contribuição de na terceira soma. - Para
todas as três aparecem.
Igualando coeficiente de
a zero, temos
para :
para
e para
:
Passo 4
Isolando
na fórmula geral para
(interpretando
), obtemos
Em particular,
e assim por diante.
Passo 5
Como só aparecem
e
livres, a solução geral é
onde
é a série par obtida fixando
,
, e
é a série ímpar com
,
. Os primeiros termos são
Resposta
com
e
constantes arbitrárias.