Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
y^{\prime \prime}+\left(1+x^{2}\right) y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + \bigl(1 + x^2\bigr)\,y = 0
usando série de potências centrada em x=0. Para isso, vamos assumir
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n
e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas em série:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)\,x^n.
Também temos
(1+x^2)\,y = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \;+\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+2}.
Substituindo tudo na EDO, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)\,x^n + \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+2} =0.

Passo 3

Para agrupar potências iguais de x convertemos a última soma:
\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+2} =\sum_{m=2}^{\infty}a_{m-2}\,x^m.
Agora as três somas dão termos em x^n:
  • Para n=0 e n=1 não há contribuição de m\ge2 na terceira soma.
  • Para n\ge2 todas as três aparecem.
Igualando coeficiente de x^n a zero, temos
para n=0,1:
a_{n+2}(n+2)(n+1) + a_n = 0,
e para n\ge2:
a_{n+2}(n+2)(n+1) + a_n + a_{n-2} = 0.

Passo 4

Isolando a_{n+2} na fórmula geral para n\ge0 (interpretando a_{-2}=a_{-1}=0), obtemos
a_{n+2} =-\frac{a_n + a_{n-2}}{(n+2)(n+1)}, \qquad n\ge0.
Em particular,
a_2=-\frac{a_0}{2},\quad a_3=-\frac{a_1}{6},
e assim por diante.

Passo 5

Como só aparecem a_0 e a_1 livres, a solução geral é
y(x)=a_0\,y_1(x)+a_1\,y_2(x),
onde y_1 é a série par obtida fixando a_0=1, a_1=0, e y_2 é a série ímpar com a_0=0, a_1=1. Os primeiros termos são
y_1(x)=1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{13\,x^6}{720} + \cdots,
y_2(x)=x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{24} + \frac{5\,x^7}{1008} + \cdots.

Resposta

y(x)=A\Bigl(1 - \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^4}{24} + \tfrac{13\,x^6}{720} + \cdots\Bigr) \;+\; B\Bigl(x - \tfrac{x^3}{6} - \tfrac{x^5}{24} + \tfrac{5\,x^7}{1008} + \cdots\Bigr),
com A e B constantes arbitrárias.

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