Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
\left\{\begin{array}{cl}y_{1}^{\prime} & =y_{1}+2 y_{2} \\\\ 2 y_{2}^{\prime} & =y_{1}+2 y_{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de EDOs de primeira ordem
\begin{cases} y_{1}' = y_{1} + 2y_{2},\\\\ 2\,y_{2}' = y_{1} + 2y_{2}, \end{cases}
ou seja, y' = A\,y com
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[6pt]\tfrac12 & 1\end{pmatrix}.
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para escrever a solução em termos de combinações lineares de modos próprios.]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial
\begin{pmatrix}y_{1}'\\[3pt]y_{2}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]\tfrac12 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[3pt]y_{2}\end{pmatrix}.
O próximo passo é encontrar os autovalores \lambda de A via o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.]

Passo 3

Calculamos
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) =\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[3pt]\tfrac12 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^{2}-1=0.
Daí
(1-\lambda)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 1-\lambda=\pm1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}=0,\;\lambda_{2}=2.]

Passo 4

Para \lambda_{1}=0\) resolvemos \[(A-0\,I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} v_{1}+2v_{2}=0,\\[3pt] \tfrac12v_{1}+v_{2}=0, \end{cases}
que dá v^{(1)}=(-2,1)^{T}\]. Para \[\lambda_{2}=2 resolvemos
(A-2I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -\,v_{1}+2v_{2}=0,\\[3pt] \tfrac12v_{1}-v_{2}=0, \end{cases}
que dá (v{(2)}=(2,1){T}].]

Passo 5

A solução geral é combinação dos modos próprios:
y(t)=C_{1}\,v^{(1)}\,e^{0\cdot t}+C_{2}\,v^{(2)}\,e^{2t} =C_{1}\begin{pmatrix}-2\\[3pt]1\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}2\,e^{2t}\\[3pt]e^{2t}\end{pmatrix}.
Logo as componentes são
y_{1}(t)=-2\,C_{1}+2\,C_{2}\,e^{2t}, \qquad y_{2}(t)=C_{1}+C_{2}\,e^{2t},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.\]

Resposta

\displaystyle y_{1}(t)=-2C_{1}+2C_{2}e^{2t},\quad y_{2}(t)=C_{1}+C_{2}e^{2t}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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