Dadas as funçöes p e q, definidas por p(x) = 9 - x^2 e q(x) = x + 3, pede-se:
represente, no plano cartesiano, a região definida por q(x) < y < p(x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções: e . O que a gente precisa fazer é representar, no plano cartesiano, a região onde . Isso envolve entender um pouco sobre gráficos de funções quadráticas e lineares, além de como elas se relacionam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos. A função é uma parábola que abre para baixo, porque o coeficiente de é negativo. Já a função é uma reta crescente. Nosso objetivo é encontrar onde a reta está abaixo da parábola, ou seja, onde .

Passo 3

Para descobrir onde , vamos igualar as duas funções e resolver a equação:
Isso vai nos dar os pontos de interseção entre a parábola e a reta.

Passo 4

Resolvendo a equação:
Agora temos uma equação quadrática: . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as duas funções se cruzam.

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver :
Aqui, , , e . Substituindo:
Portanto, as soluções são:

Passo 6

Então, as funções se cruzam nos pontos e . Agora, precisamos determinar em qual intervalo entre esses valores a reta está abaixo da parábola.

Passo 7

Vamos escolher um valor de entre -3 e 2 para testar. Por exemplo, :
Como , isso confirma que entre e , a reta está abaixo da parábola .

Passo 8

Agora que sabemos que a região definida por está entre e , podemos descrever essa área no plano cartesiano. É a região entre a reta e a parábola nesse intervalo de .

Resposta

A região definida por está no plano cartesiano limitada entre e , situada entre a reta e a parábola .

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