Dadas as funções
e
, pede-se:
a) encontre a função
, simplificando ao máximo a expressão final.
b)
é função inversa de
?
a) encontre a função
b)
Passo 1
Então, o exercício dá duas funções
f(x)=x^2-2x
g(x)=1-\sqrt{1+x}
e pede:
a) calcular a composição e simplificar ao máximo;
b) saber se é de fato a inversa de
.
O assunto aqui é “composição de funções” e “função inversa”. Para resolver a) a gente vai precisar saber como substituir dentro de
e dominar a álgebra de radicais. Para b) vamos usar a definição de inversa: uma função
é inversa de
se
e
, no domínio certo.
a) calcular a composição
b) saber se
O assunto aqui é “composição de funções” e “função inversa”. Para resolver a) a gente vai precisar saber como substituir
Passo 2
Vamos montar
. Por definição:
f(g(x)) = (g(x))^2 - 2\,(g(x)).
Como
, substituímos:
f(g(x))
= \bigl(1-\sqrt{1+x}\bigr)^2 \;-\;2\bigl(1-\sqrt{1+x}\bigr).
Agora expandimos o quadrado:
\bigl(1-\sqrt{1+x}\bigr)^2
=1 -2\sqrt{1+x} +(\sqrt{1+x})^2
=1 -2\sqrt{1+x} +1 +x.
Então
f(g(x))
= \bigl[1 -2\sqrt{1+x} +1 +x\bigr] -2 +2\sqrt{1+x}.
Passo 3
Basta recolher termos semelhantes:
- Os termos com
: . - As constantes:
.
Sobra só
f(g(x)) = x.
Isso vale para todo
em que
está definido (ou seja,
,
).
Passo 4
Agora, para checar inversa, lembre:
é inversa de
se
-
e -
.
Já vimos o item 1. Vamos ao item 2:
g(f(x))
=1 - \sqrt{\,1 + f(x)\,}
=1 - \sqrt{\,1 + (x^2-2x)\,}
=1 - \sqrt{\,x^2 -2x +1\,}
=1 - \sqrt{(x-1)^2}
=1 - |x-1|.
Para ser igual a
precisaríamos ter
para todo
. Mas isso só rola quando
(ou seja,
). Para
,
1 - |x-1| = 1 - (x-1) = 2 - x \neq x
em geral.
Resposta
a)
.
b) Não, não é a inversa de
em todo o domínio de
, porque embora
, a outra composição dá
para
. Dito de outra forma,
não é bijetora em
sem restrição, então não tem inversa global, só inversa numa parte do domínio.
b) Não,