Dadas as funções f(x)=x^2-2 x e g(x)=1-raiz1+x, pede-se:
a) encontre a função f(g(x)), simplificando ao máximo a expressão final.
b) g é função inversa de f ?

Passo 1

Então, o exercício dá duas funções
f(x)=x^2-2x  
g(x)=1-\sqrt{1+x}
e pede:
a) calcular a composição f(g(x)) e simplificar ao máximo;
b) saber se g é de fato a inversa de f.
O assunto aqui é “composição de funções” e “função inversa”. Para resolver a) a gente vai precisar saber como substituir g(x) dentro de f e dominar a álgebra de radicais. Para b) vamos usar a definição de inversa: uma função h é inversa de f se f(h(x))=x e h(f(x))=x, no domínio certo.

Passo 2

Vamos montar f(g(x)). Por definição:
f(g(x)) = (g(x))^2 - 2\,(g(x)).
Como g(x)=1-raiz1+x, substituímos:
f(g(x))
= \bigl(1-\sqrt{1+x}\bigr)^2 \;-\;2\bigl(1-\sqrt{1+x}\bigr).
Agora expandimos o quadrado:
\bigl(1-\sqrt{1+x}\bigr)^2
=1 -2\sqrt{1+x} +(\sqrt{1+x})^2
=1 -2\sqrt{1+x} +1 +x.
Então
f(g(x))
= \bigl[1 -2\sqrt{1+x} +1 +x\bigr] -2 +2\sqrt{1+x}.

Passo 3

Basta recolher termos semelhantes:
  • Os termos com raiz1+x: -2raiz1+x+2raiz1+x=0.
  • As constantes: 1+1-2=0.
    Sobra só
f(g(x)) = x.
Isso vale para todo x em que g(x) está definido (ou seja, 1+x>=0, x>=-1).

Passo 4

Agora, para checar inversa, lembre: g é inversa de f se
  1. f(g(x))=x e
  2. g(f(x))=x.
    Já vimos o item 1. Vamos ao item 2:
g(f(x))
=1 - \sqrt{\,1 + f(x)\,}
=1 - \sqrt{\,1 + (x^2-2x)\,}
=1 - \sqrt{\,x^2 -2x +1\,}
=1 - \sqrt{(x-1)^2}
=1 - |x-1|.
Para ser igual a x precisaríamos ter 1 - |x-1| = x para todo x. Mas isso só rola quando x-1<=0 (ou seja, x<=1). Para x>1,
1 - |x-1| = 1 - (x-1) = 2 - x \neq x
em geral.

Resposta

a) f(g(x))=x.
b) Não, g não é a inversa de f em todo o domínio de f, porque embora f(g(x))=x, a outra composição dá g(f(x))=1-|x-1|neq x para x>1. Dito de outra forma, f não é bijetora em R sem restrição, então não tem inversa global, só inversa numa parte do domínio.

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