Questão 1: Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
é diferenciável em . Para isso, vamos usar o critério clássico: se as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo ponto, então é diferenciável em .
Passo 2
Calculamos a derivada parcial de em relação a . Como é diferenciável em e , vale
Passo 3
Agora a derivada parcial de f em relação a y. Ainda com u=x-y^2, temos partial u/partial y = -2y, então
Observe que ambas as funções (x,y)mapsto e^x-y^2
e (x,y)mapsto -2y,e^x-y^2
são compostas de polinômios e da exponencial, logo são contínuas em todo R^2. Portanto, as derivadas parciais de f existem e são contínuas em R^2.
Passo 5
Pelo teorema que garante diferenciabilidade quando as derivadas parciais existem e são contínuas em todo ponto, concluímos que f é diferenciável em R^2.
Resposta
A função f(x,y)=e^x-y^2 é diferenciável em todo R^2.