Questão 1: Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
f(x, y)=e^x-y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x,y) = e^x - y^2
é diferenciável em R^2. Para isso, vamos usar o critério clássico: se as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo ponto, então f é diferenciável em R^2.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Como e^u é diferenciável em u=x-y^2 e partial u/partial x =1, vale
partial fpartial x(x,y) = ddul(e^ur)|u=x-y^2cdotpartial upartial x = e^x-y^2cdot 1 = e^x-y^2

Passo 3

Agora a derivada parcial de f em relação a y. Ainda com u=x-y^2, temos partial u/partial y = -2y, então
partial fpartial y(x,y) = ddul(e^ur)|u=x-y^2cdotpartial upartial y = e^x-y^2cdot(-2y) = -2y,e^x-y^2

Passo 4

Observe que ambas as funções
(x,y)mapsto e^x-y^2
e
(x,y)mapsto -2y,e^x-y^2
são compostas de polinômios e da exponencial, logo são contínuas em todo R^2. Portanto, as derivadas parciais de f existem e são contínuas em R^2.

Passo 5

Pelo teorema que garante diferenciabilidade quando as derivadas parciais existem e são contínuas em todo ponto, concluímos que f é diferenciável em R^2.

Resposta

A função f(x,y)=e^x-y^2 é diferenciável em todo R^2.

Exercícios relacionados