Dadas as funções
e
, definidas no intervalo
:
Calcule:
a)
; b)
c)
a)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos duas funções no espaço L²(ℝ):
O conteúdo principal é cálculo de produto interno
$$(\phi,\chi)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(q),\chi(q),dq
$$
e uso de integrais gaussianas e propriedades de funções ímpares/paridade.
e uso de integrais gaussianas e propriedades de funções ímpares/paridade.
Passo 2
Para calcular (\psi_{1},\psi_{2}), escrevemos
onde
$$N_{1}=\Bigl(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Bigr)^{1/2},\quad N_{2}=\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\Bigr)^{1/2}.
Passo 3
Para (\psi_{1},\psi_{1}) usamos
com
$$N_{1}^{2}=\frac{2}{\sqrt{\pi}},\quad \int_{-\infty}{\infty}q{2}e{-2q{2}},dq=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2{5/2}}.
Passo 4
Para (\psi_{2},\psi_{2}) montamos
com
$$N_{2}^{2}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}},
\int_{-\infty}{\infty}x{n}e{-2x{2}}dx
Resposta
a)
b)
c)