Dadas as funções psi1(q) e psi2(q), definidas no intervalo -infty :
psi1(q)=(2raizpi)^1 / 2 q exp (-q^2) psi2(q)=(12 raizpi)^1 / 2(2 q^2-1) exp (-q^2)
Calcule:
a) ; b) c)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos duas funções no espaço L²(ℝ):
psi1(q)=l(2raizpir)^1/2,q,e^-q^2, psi2(q)=l(12raizpir)^1/2(2q^2-1)e^-q^2
O conteúdo principal é cálculo de produto interno
$$(\phi,\chi)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(q),\chi(q),dq
$$
e uso de integrais gaussianas e propriedades de funções ímpares/paridade.

Passo 2

Para calcular (\psi_{1},\psi_{2}), escrevemos
(psi1,psi2)=integral-infty^inftypsi1(q),psi2(q),dq = N1N2integral-infty^inftyq(2q^2-1)e^-2q^2,dq,
onde
$$N_{1}=\Bigl(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Bigr)^{1/2},\quad N_{2}=\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\Bigr)^{1/2}.
N1=l(2raizpir)^1/2, N2=l(12raizpir)^1/2 çãéíôíã(\psi_{1},\psi_{2})=0.$$

Passo 3

Para (\psi_{1},\psi_{1}) usamos
(psi1,psi1)=N1^2integral-infty^inftyq^2e^-2q^2,dq,
com
$$N_{1}^{2}=\frac{2}{\sqrt{\pi}},\quad \int_{-\infty}{\infty}q{2}e{-2q{2}},dq=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2{5/2}}.
N1^2=2raizpi, integral-infty^inftyq^2e^-2q^2,dq=12raizpi2^3/2=raizpi2^5/2 (\psi_{1},\psi_{1})=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2{5/2}}=2{-3/2}.
(psi1,psi1)=2raizpicdotraizpi2^5/2=2^-3/2 í\sqrt{(\psi_{1},\psi_{1})}=2^{-3/4}.$$

Passo 4

Para (\psi_{2},\psi_{2}) montamos
(psi2,psi2)=N2^2integral-infty^infty(2q^2-1)^2e^-2q^2,dq,
com
$$N_{2}^{2}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}},
N2^2=12raizpi, ô
\int_{-\infty}{\infty}x{n}e{-2x{2}}dx
integral-infty^inftyx^ne^-2x^2dx (\psi_{2},\psi_{2})=\frac{3}{4\sqrt{2}}=3,2^{-5/2}.
(psi2,psi2)=34raiz2=3,2^-5/2 \sqrt{(\psi_{2},\psi_{2})}=\sqrt{3},2^{-5/4}.$$

Resposta

a) 0 b) 2^-3/4 c) raiz3,2^-5/4

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