Dois projéteis são lançados no mesmo plano, sendo:
vo^A=10 i+20 j e ro^B=-5 i+30 j ro^A=0 e ro^B=50 i
a) Qual o ponto comum do plano em que ambos passam? Após o primeiro passar por este ponto quantos segundos depois o outro passa? b) Qual a distância que os separa após a queda?

Passo 1

Estamos com dois projéteis no mesmo plano, sob aceleração da gravidade vertical para baixo com módulo g=10 m/s². O projétil A parte de r₀ᴬ=0 com velocidade inicial v₀ᴬ=10 î+20 ĵ e o projétil B parte de r₀ᴮ=50 î com v₀ᴮ=–5 î+30 ĵ. Precisamos achar onde as trajetórias se cruzam, o intervalo de tempo entre as passagens, e depois, na aterrissagem de cada um, a separação entre eles.

Passo 2

Escrevemos as equações paramétricas do movimento de cada projétil:
rA(t)=10t,hatimath+l(20t-tfrac12>^2r),hatjmath
rB(t)=l(50-5tr),hatimath+l(30t-tfrac12>^2r),hatjmath
Para que passem pelo mesmo ponto, precisamos de tempos t₁ e t₂ tais que r_A(t₁)=r_B(t₂). Isso gera duas equações: igualdade de x e de y.

Passo 3

Igualando as componentes x:
10t1=50-5t2
que leva a
t2=10-2t1
Agora igualamos as componentes y usando g=10 m/s² e substituímos t₂ em função de t₁:
20t1-5t1^2=30(10-2t1)-5(10-2t1)^2
que se reduz a
15t1^2-120t1+200=0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática obtemos
t1=12pm2raiz63
Descartamos a solução que dá t₂ negativo e ficamos com
t1=12-2raiz63approx2,37,s,
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t2=10-2t1approx5,27,s

Passo 5

O ponto comum vem de x=10t₁ e y=20t₁-5t₁², resultando em aproximadamente (23,7 m, 19,3 m). O projétil A passa nesse ponto em t₁=2,37 s e o B em t₂=5,27 s, logo o atraso é Δt=5,27−2,37≈2,90 s.

Passo 6

Para a parte (b), cada projétil atinge o solo quando sua coordenada y é zero. Para A: 20t-5t²=0 → t_A=4 s; para B: 30t-5t²=0 → t_B=6 s. As posições de pouso são x_A=10·4=40 m e x_B=50-5·6=20 m. Portanto, a distância final entre eles é 20 m.

Resposta

Ponto comum: (23,7,m,,19,3,m); diferença de tempo: 2,90,s; distância após a queda: 20,m.

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