Dois projéteis são lançados no mesmo plano, sendo:
a) Qual o ponto comum do plano em que ambos passam? Após o primeiro passar por este ponto quantos segundos depois o outro passa? b) Qual a distância que os separa após a queda?
Passo 1
Estamos com dois projéteis no mesmo plano, sob aceleração da gravidade vertical para baixo com módulo g=10 m/s². O projétil A parte de r₀ᴬ=0 com velocidade inicial v₀ᴬ=10 î+20 ĵ e o projétil B parte de r₀ᴮ=50 î com v₀ᴮ=–5 î+30 ĵ. Precisamos achar onde as trajetórias se cruzam, o intervalo de tempo entre as passagens, e depois, na aterrissagem de cada um, a separação entre eles.
Passo 2
Escrevemos as equações paramétricas do movimento de cada projétil:
Para que passem pelo mesmo ponto, precisamos de tempos t₁ e t₂ tais que r_A(t₁)=r_B(t₂). Isso gera duas equações: igualdade de x e de y.
Passo 3
Igualando as componentes x:
que leva a
Agora igualamos as componentes y usando g=10 m/s² e substituímos t₂ em função de t₁:
que se reduz a
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática obtemos
Descartamos a solução que dá t₂ negativo e ficamos com
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Passo 5
O ponto comum vem de x=10t₁ e y=20t₁-5t₁², resultando em aproximadamente (23,7 m, 19,3 m). O projétil A passa nesse ponto em t₁=2,37 s e o B em t₂=5,27 s, logo o atraso é Δt=5,27−2,37≈2,90 s.
Passo 6
Para a parte (b), cada projétil atinge o solo quando sua coordenada y é zero. Para A: 20t-5t²=0 → t_A=4 s; para B: 30t-5t²=0 → t_B=6 s. As posições de pouso são x_A=10·4=40 m e x_B=50-5·6=20 m. Portanto, a distância final entre eles é 20 m.
Resposta
Ponto comum:
; diferença de tempo:
; distância após a queda:
.