Obtenha as componentes de psi(x) na base vp(x), onde
psi(x)=exp (-alpha|x|)
dica: psi(x) é uma função par. Para calcular a integral, escreva vp(x) em termos de seno e coseno e analise a paridade do integrando

Passo 1

O enunciado pede pra achar os coeficientes de psi(x)=e^-alpha|x| numa base de autovalores de momento vp(x). Ou seja, precisamos da representação em momento, que é basicamente a transformada de Fourier de uma função par.

Passo 2

O coeficiente em momento c(p) é dado por
c(p)=integral-infty^inftyvp^*(x),psi(x),dx
Como normalmente escolhemos
vp(x)=1raiz2pihbar,e^i p x/hbar
temos
c(p)=1raiz2pihbarintegral-infty^inftye^-i p x/hbare^-alpha|x|,dx
Escrevendo e^-i p x/hbar=cos(px/hbar)-isin(px/hbar) e lembrando que e^-alpha|x| é par, a parte em sin(px/hbar) anula por ser ímpar no intervalo simétrico.

Passo 3

Portanto
c(p)=2raiz2pihbarintegral0^inftye^-alpha xcosl(px/hbarr),dx
Usamos a fórmula da transformada de Fourier de uma exponencial:
integral0^inftye^-alpha xcos(beta x),dx=alphaalpha^2+beta^2
com beta=p/hbar.

Passo 4

Substituindo, obtemos
c(p)=2raiz2pihbar;alphaalpha^2+(p/hbar)^2
que é real, pois a parte imaginária cancelou.

Resposta

As componentes na base vp(x) são
c(p)=2,alpharaiz2pihbar,l(alpha^2+(p/hbar)^2r),

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