Obtenha as componentes de
na base
, onde
dica:
é uma função par. Para calcular a integral, escreva
em termos de seno e coseno e analise a paridade do integrando
Passo 1
O enunciado pede pra achar os coeficientes de
numa base de autovalores de momento
. Ou seja, precisamos da representação em momento, que é basicamente a transformada de Fourier de uma função par.
Passo 2
O coeficiente em momento
é dado por
Como normalmente escolhemos
temos
Escrevendo
e lembrando que
é par, a parte em
anula por ser ímpar no intervalo simétrico.
Passo 3
Portanto
Usamos a fórmula da transformada de Fourier de uma exponencial:
com
.
Passo 4
Substituindo, obtemos
que é real, pois a parte imaginária cancelou.
Resposta
As componentes na base
são