Um menino faz girar uma pedra em um círculo horizontal a 1.5 m acima do solo, por meio de um barbante de
de comprimento. O barbante arrebenta e a pedra colide com o solo a 10 m de distância. Calcule a aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular.
Passo 1
O enunciado diz que uma pedra gira em movimento circular horizontal de raio 1,2 m a uma altura de 1,5 m. Quando o barbante arrebenta, ela se comporta como projétil horizontal e atinge o solo a 10 m de distância. O conteúdo envolvido é movimento circular (para achar a aceleração centrípeta) e movimento de projeção horizontal (para descobrir a velocidade tangencial).
Passo 2
Para determinar a velocidade tangencial da pedra no instante da ruptura, fazemos a análise da projeção horizontal: a velocidade horizontal inicial $!v$ é constante e igual à velocidade tangencial. O tempo de queda $!t$ vem da queda livre de altura $!h = 1{,}5\mathrm{,m}$. O tempo de queda é dado por
[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} ]
onde $!g = 9{,}8\mathrm{,m/s^2}$. Substituindo h = 1,5 m e g = 9,8 m/s², temos
[ t = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}5}{9{,}8}} \approx 0{,}553,\mathrm{s} ].
[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} ]
onde $!g = 9{,}8\mathrm{,m/s^2}$. Substituindo h = 1,5 m e g = 9,8 m/s², temos
[ t = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}5}{9{,}8}} \approx 0{,}553,\mathrm{s} ].
Passo 3
A velocidade horizontal (igual à tangencial) é
[ v = \frac{10,\mathrm{m}}{t} \approx \frac{10}{0{,}553} \approx 18{,}08,\mathrm{m/s} ]. Por fim, a aceleração centrípeta em módulo é dada por
[ a_c = \frac{v^2}{R} ],
com R = 1,2 m. Substituindo v ≈ 18,08 m/s, obtemos
[ a_c = \frac{(18{,}08)^2}{1{,}2} \approx 272{,}4,\mathrm{m/s^2} ].
[ v = \frac{10,\mathrm{m}}{t} \approx \frac{10}{0{,}553} \approx 18{,}08,\mathrm{m/s} ]. Por fim, a aceleração centrípeta em módulo é dada por
[ a_c = \frac{v^2}{R} ],
com R = 1,2 m. Substituindo v ≈ 18,08 m/s, obtemos
[ a_c = \frac{(18{,}08)^2}{1{,}2} \approx 272{,}4,\mathrm{m/s^2} ].
Resposta
A aceleração centrípeta da pedra é aproximadamente 2,7\times10^2 m/s^2.