Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
f(x)=x^{2}+3 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=x^{2}+3x+2 e pede para esboçar o gráfico dessa função. Informações e pedidos importantes extraídos do enunciado:
  • A função fornecida é f(x)=x^{2}+3x+2.
  • Pedir-se-á um esboço do gráfico (ou seja: identificar formato da parábola, vértice, raízes, intercepto com o eixo y, eixo de simetria e pontos suficientes para desenhar a curva).

Passo 2

Identificar os coeficientes e o “tipo” da parábola (orientação).
  • Escrevendo a função no formato padrão f(x)=ax^{2}+bx+c, temos a=1, b=3 e c=2.
  • O sinal de a determina se a parábola abre para cima ou para baixo:
    • Se a>0 a parábola abre para cima (mínimo).
    • Se a<0 a parábola abre para baixo (máximo).
  • Como a=1>0, a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo (vértice mínimo).

Passo 3

Encontrar as raízes (zeros) da função — pontos onde f(x)=0.
  • Os zeros satisfazem x^{2}+3x+2=0.
  • Tentar fatorar: procurar dois números cuja soma seja 3 e produto seja 2. Esses números são 1 e 2.
  • Portanto a fatoração é
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
  • As raízes são as soluções de (x+1)(x+2)=0, ou seja,
x=-1 \quad\text{e}\quad x=-2.
  • Esses são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x: (-1,0) e (-2,0).

Passo 4

Calcular o intercepto com o eixo y (valor de f(0)).
  • Substituir x=0:
f(0)=0^{2}+3\cdot0+2=2.
  • Portanto o intercepto com o eixo y é o ponto (0,2).

Passo 5

Determinar o vértice da parábola (posição do mínimo) usando a fórmula do vértice.
  • A abscissa do vértice é dada por x_v=-\dfrac{b}{2a}.
  • Substituindo a=1 e b=3:
x_v=-\dfrac{3}{2}.
  • A ordenada do vértice é y_v=f(x_v). Calcular f\!\left(-\dfrac{3}{2}\right):
f\!\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+3\!\left(-\dfrac{3}{2}\right)+2 =\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2.
  • Colocando em quarto comuns:
\dfrac{9}{4}-\dfrac{18}{4}+\dfrac{8}{4}=\dfrac{9-18+8}{4}=\dfrac{-1}{4}.
  • Logo o vértice é
\left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{4}\right).

Passo 6

Escrever a forma canônica (completando o quadrado) — útil para esboço e para ver o deslocamento.
  • Fazer o completamento do quadrado em x^{2}+3x+2:
x^{2}+3x+2=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}+2 =\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}.
  • Assim a forma canônica é
f(x)=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4},
o que confirma o vértice em \left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{4}\right) e mostra que a parábola é a função quadrada padrão deslocada para a esquerda em \dfrac{3}{2} e para baixo em \dfrac{1}{4}.

Passo 7

Verificar simetria e calcular alguns pontos adicionais para desenhar a parábola com segurança.
  • O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
x=-\dfrac{3}{2}.
  • Como os zeros são -2 e -1, observe que eles são simétricos em relação a x=-\dfrac{3}{2} (distâncias \tfrac{1}{2} para cada lado).
  • Calcular mais alguns pontos para ter a “curvatura”:
    • f(1)=1+3+2=6 → ponto (1,6).
    • f(-4)=16-12+2=6 → ponto (-4,6). Esses dois pontos mostram a simetria e a rapidez com que a parábola sobe.
    • Já temos (0,2) e os zeros (-1,0), (-2,0).
  • Com vértice baixo em \left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{4}\right) e essas marcas, consegue-se esboçar a parábola com precisão suficiente.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar no papel (passo a passo rápido para a prova):
  1. Marcar o vértice \left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{4}\right).
  2. Desenhar a reta eixo de simetria x=-\tfrac{3}{2}.
  3. Marcar os zeros em (-2,0) e (-1,0).
  4. Marcar o intercepto com y em (0,2).
  5. Marcar mais dois pontos simétricos, por exemplo (1,6) e (-4,6), para ver a abertura.
  6. Desenhar uma curva suave em “U” passando pelo vértice e pelos pontos marcados, lembrando que abre para cima e é simétrica em relação ao eixo x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 9

Dicas finais e interpretação:
  • O valor mínimo de f é -\tfrac{1}{4} atingido em x=-\tfrac{3}{2}.
  • A parábola corta o eixo x em -2 e -1 e o eixo y em 2.
  • Em prova, para esboçar rapidamente: calcule raízes (fatoração), vértice (fórmula -b/2a e substituição) e mais um ou dois pontos para a forma; use a forma canônica para confirmar deslocamentos.

Resposta

Parábola voltada para cima (porque a=1>0).
Raízes: x=-2 e x=-1.
Intercepto com o eixo y: (0,2).
Vértice: \left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{4}\right).
Eixo de simetria: x=-\dfrac{3}{2}.
Forma canônica: f(x)=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}.

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