Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede para esboçar o gráfico dessa função. Informações e pedidos importantes extraídos do enunciado:
- A função fornecida é
. - Pedir-se-á um esboço do gráfico (ou seja: identificar formato da parábola, vértice, raízes, intercepto com o eixo
, eixo de simetria e pontos suficientes para desenhar a curva).
Passo 2
Identificar os coeficientes e o “tipo” da parábola (orientação).
- Escrevendo a função no formato padrão
, temos , e . - O sinal de
determina se a parábola abre para cima ou para baixo: - Se
a parábola abre para cima (mínimo). - Se
a parábola abre para baixo (máximo).
- Se
- Como
, a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo (vértice mínimo).
Passo 3
Encontrar as raízes (zeros) da função — pontos onde
.
- Os zeros satisfazem
. - Tentar fatorar: procurar dois números cuja soma seja
e produto seja . Esses números são e . - Portanto a fatoração é
- As raízes são as soluções de
, ou seja,
- Esses são os pontos onde a parábola intercepta o eixo
: e .
Passo 4
Calcular o intercepto com o eixo
(valor de
).
- Substituir
:
- Portanto o intercepto com o eixo
é o ponto .
Passo 5
Determinar o vértice da parábola (posição do mínimo) usando a fórmula do vértice.
- A abscissa do vértice é dada por
. - Substituindo
e :
- A ordenada do vértice é
. Calcular :
- Colocando em quarto comuns:
- Logo o vértice é
Passo 6
Escrever a forma canônica (completando o quadrado) — útil para esboço e para ver o deslocamento.
- Fazer o completamento do quadrado em
:
- Assim a forma canônica é
o que confirma o vértice em
e mostra que a parábola é a função quadrada padrão deslocada para a esquerda em
e para baixo em
.
Passo 7
Verificar simetria e calcular alguns pontos adicionais para desenhar a parábola com segurança.
- O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
- Como os zeros são
e , observe que eles são simétricos em relação a (distâncias para cada lado). - Calcular mais alguns pontos para ter a “curvatura”:
-
→ ponto . -
→ ponto . Esses dois pontos mostram a simetria e a rapidez com que a parábola sobe. - Já temos
e os zeros , .
-
- Com vértice baixo em
e essas marcas, consegue-se esboçar a parábola com precisão suficiente.
Passo 8
Instruções práticas para esboçar no papel (passo a passo rápido para a prova):
- Marcar o vértice
. - Desenhar a reta eixo de simetria
. - Marcar os zeros em
e . - Marcar o intercepto com
em . - Marcar mais dois pontos simétricos, por exemplo
e , para ver a abertura. - Desenhar uma curva suave em “U” passando pelo vértice e pelos pontos marcados, lembrando que abre para cima e é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 9
Dicas finais e interpretação:
- O valor mínimo de
é atingido em . - A parábola corta o eixo
em e e o eixo em . - Em prova, para esboçar rapidamente: calcule raízes (fatoração), vértice (fórmula
e substituição) e mais um ou dois pontos para a forma; use a forma canônica para confirmar deslocamentos.
Resposta
Parábola voltada para cima (porque
).
Raízes: e
.
Intercepto com o eixo :
.
Vértice: .
Eixo de simetria: .
Forma canônica: .
Raízes:
Intercepto com o eixo
Vértice:
Eixo de simetria:
Forma canônica: