Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
f(x)=3 x^{2}-3 x+1

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática f(x)=3x^{2}-3x+1. Informações dadas:
  • A função é f(x)=3x^{2}-3x+1.
  • Pedido: esboçar o gráfico (ou seja, identificar formato, vértice, eixos de simetria, interceptos e desenhar a parábola).

Passo 2

Determinar para que lado a parábola abre (saber se tem mínimo ou máximo).
  • Coeficiente quadrático: a=3.
  • Regra: se a>0 a parábola abre para cima (tem mínimo); se a<0 abre para baixo (tem máximo).
  • Como a=3>0, a parábola abre para cima e possui um ponto mínimo.

Passo 3

Achar o vértice completando o quadrado (método prático para esboçar).
Começo isolando o coeficiente 3 em x^{2} e x:
f(x)=3x^{2}-3x+1=3\bigl(x^{2}-x\bigr)+1.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para x^{2}-x, metade do coeficiente de x é \tfrac{1}{2}, e seu quadrado é \tfrac{1}{4}. Então:
x^{2}-x = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Substituindo:
f(x)=3\left(\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\right)+1 = 3\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{3}{4}+1.
Calculo o termo constante:
-\tfrac{3}{4}+1 = \tfrac{1}{4}.
Portanto:
f(x)=3\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{4}.
Dessa forma fica claro que o vértice é \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr) e o valor mínimo de f é \tfrac{1}{4}.
Obs.: alternativa rápida (fórmula do vértice) — a abscissa do vértice é \displaystyle x_{v}=-\frac{b}{2a}. Aqui b=-3 e a=3, então
x_{v}=-\frac{-3}{2\cdot3}=\tfrac{1}{2},
e substituindo em f obtém-se f(\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{4}, confirmando o resultado acima.

Passo 4

Calcular o discriminante e interpretar (serve para saber se corta o eixo x).
  • Discriminante: \Delta=b^{2}-4ac.
  • Substituindo a=3, b=-3, c=1:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot3\cdot1 = 9-12 = -3.
Como \Delta<0, a equação 3x^{2}-3x+1=0 não tem raízes reais, ou seja, a parábola NÃO corta o eixo x. Isso está coerente com o vértice ter ordenada positiva \tfrac{1}{4}: a parábola inteira fica acima do eixo x.

Passo 5

Interceptos e pontos úteis para desenhar (valores fáceis para plotar).
  • Intercepto em y (quando x=0): f(0)=1. Então ponto (0,1).
  • Pelo formato completado, fica óbvio que f(1)=3(1)-3(1)+1=1. Então ponto (1,1). Note que (0,1) e (1,1) estão simétricos em relação ao eixo de simetria x=\tfrac{1}{2}.
  • Eixo de simetria: x=\tfrac{1}{2}.
  • Como \Delta<0, não há interceptos em x.

Passo 6

Monotonicidade e concavidade (o que ajuda no esboço).
  • Derivada: f'(x)=6x-3. Zera em x=\tfrac{1}{2}.
  • Para x<\tfrac{1}{2}, f'(x)<0 então a função decresce até x=\tfrac{1}{2}.
  • Para x>\tfrac{1}{2}, f'(x)>0 então a função cresce após x=\tfrac{1}{2}.
  • Segunda derivada: f''(x)=6>0 (constante), o que confirma concavidade para cima (mínimo no vértice).

Passo 7

Como esboçar passo a passo no papel (instruções práticas, sem calculadora):
  1. Desenha os eixos x e y.
  2. Marque o eixo de simetria vertical x=\tfrac{1}{2} (um pouco à direita da origem).
  3. Marque o vértice em \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr) (pouco acima do zero em y).
  4. Marque os pontos (0,1) e (1,1) (horizontalmente simétricos ao redor de x=\tfrac{1}{2}).
  5. Como a parábola abre para cima e não corta o eixo x, desenhe uma curva suave que passa por (0,1) e (1,1), tem mínimo em \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr) e cresce rapidamente ao afastar-se do vértice (coeficiente 3 indica “estreitamento” comparado a x^{2} simples).
    Dica: marque alguns valores adicionais se quiser (por ex. f(-1)=3+3+1=7) para garantir forma correta.

Resposta

Vértice: \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr)
Abertura: para cima (pois a=3>0)
Eixo de simetria: x=\tfrac{1}{2}
Discriminante: \Delta=-3 (sem raízes reais)
Intercepto em y: (0,1)
Pontos simétricos úteis: (0,1) e (1,1)

Exercícios relacionados