Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática
. Informações dadas:
- A função é
. - Pedido: esboçar o gráfico (ou seja, identificar formato, vértice, eixos de simetria, interceptos e desenhar a parábola).
Passo 2
Determinar para que lado a parábola abre (saber se tem mínimo ou máximo).
- Coeficiente quadrático:
. - Regra: se
a parábola abre para cima (tem mínimo); se abre para baixo (tem máximo). - Como
, a parábola abre para cima e possui um ponto mínimo.
Passo 3
Achar o vértice completando o quadrado (método prático para esboçar).
Começo isolando o coeficiente em
e
:
Começo isolando o coeficiente
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para
, metade do coeficiente de
é
, e seu quadrado é
. Então:
Substituindo:
Calculo o termo constante:
Portanto:
Dessa forma fica claro que o vértice é
e o valor mínimo de
é
.
Obs.: alternativa rápida (fórmula do vértice) — a abscissa do vértice é
. Aqui
e
, então
e substituindo em
obtém-se
, confirmando o resultado acima.
Passo 4
Calcular o discriminante e interpretar (serve para saber se corta o eixo
).
- Discriminante:
. - Substituindo
, , :
Como
, a equação
não tem raízes reais, ou seja, a parábola NÃO corta o eixo
. Isso está coerente com o vértice ter ordenada positiva
: a parábola inteira fica acima do eixo
.
Passo 5
Interceptos e pontos úteis para desenhar (valores fáceis para plotar).
- Intercepto em
(quando ): . Então ponto . - Pelo formato completado, fica óbvio que
. Então ponto . Note que e estão simétricos em relação ao eixo de simetria . - Eixo de simetria:
. - Como
, não há interceptos em .
Passo 6
Monotonicidade e concavidade (o que ajuda no esboço).
- Derivada:
. Zera em . - Para
, então a função decresce até . - Para
, então a função cresce após . - Segunda derivada:
(constante), o que confirma concavidade para cima (mínimo no vértice).
Passo 7
Como esboçar passo a passo no papel (instruções práticas, sem calculadora):
- Desenha os eixos
e . - Marque o eixo de simetria vertical
(um pouco à direita da origem). - Marque o vértice em
(pouco acima do zero em ). - Marque os pontos
e (horizontalmente simétricos ao redor de ). - Como a parábola abre para cima e não corta o eixo
, desenhe uma curva suave que passa por e , tem mínimo em e cresce rapidamente ao afastar-se do vértice (coeficiente indica “estreitamento” comparado a simples).
Dica: marque alguns valores adicionais se quiser (por ex.) para garantir forma correta.
Resposta
Vértice:
Abertura: para cima (pois )
Eixo de simetria:
Discriminante: (sem raízes reais)
Intercepto em :
Pontos simétricos úteis: e
Abertura: para cima (pois
Eixo de simetria:
Discriminante:
Intercepto em
Pontos simétricos úteis: