Sejam
e
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações:
-
. -
.
O que é pedido: determinar
.
Informações relevantes e o que isso significa (sem resolver ainda):
- A composição
significa . - Como
, ao aplicar em obtemos . - Portanto a igualdade do enunciado equivale a uma equação do tipo
(polinômio dado).
Passo 2
Escrever a equação que precisamos resolver:
Explicando a estratégia: queremos encontrar uma função
tal que ao elevá‑la ao quadrado obtenhamos o polinômio à direita. A forma natural é tentar escrever o polinômio como um quadrado perfeito, para então comparar diretamente.
Passo 3
Verificar se o polinômio é um quadrado perfeito. Fazer a fatoração/completar quadrado:
Portanto a equação fica
Passo 4
Resolver a equação
. Para números reais vale a implicação
Aplicando com
e
obtemos, para cada
,
Explicação didática: isso significa que qualquer função
que, ponto a ponto, seja igual a
ou a
satisfaz a composição pedida. As escolhas mais simples e usuais são as duas funções lineares constantes em sinal indicadas acima.
Passo 5
Observação adicional (útil na prova): a raiz quadrada principal dá
Assim,
também é uma expressão válida para
(corresponde à escolha do sinal
quando
e do sinal
quando
). Mas, para uma expressão simples e global, as duas funções lineares
e
já resolvem o problema.