Sejam f(x)=x^{2} e (f \circ g)(x)=4 x^{2}-12 x+9. Determine \mathrm{g}(\mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado dá duas informações:
  • f(x)=x^{2}.
  • (f\circ g)(x)=4x^{2}-12x+9.
O que é pedido: determinar g(x).
Informações relevantes e o que isso significa (sem resolver ainda):
  • A composição (f\circ g)(x) significa f(g(x)).
  • Como f(t)=t^{2}, ao aplicar f em g(x) obtemos f(g(x))=(g(x))^{2}.
  • Portanto a igualdade do enunciado equivale a uma equação do tipo (g(x))^{2}= (polinômio dado).

Passo 2

Escrever a equação que precisamos resolver:
(g(x))^{2}=4x^{2}-12x+9.
Explicando a estratégia: queremos encontrar uma função g tal que ao elevá‑la ao quadrado obtenhamos o polinômio à direita. A forma natural é tentar escrever o polinômio como um quadrado perfeito, para então comparar diretamente.

Passo 3

Verificar se o polinômio é um quadrado perfeito. Fazer a fatoração/completar quadrado:
4x^{2}-12x+9 = (2x)^{2}-2\cdot(2x)\cdot 3 + 3^{2} = (2x-3)^{2}.
Portanto a equação fica
(g(x))^{2}=(2x-3)^{2}.

Passo 4

Resolver a equação (g(x))^{2}=(2x-3)^{2}. Para números reais vale a implicação
a^{2}=b^{2}\quad\Rightarrow\quad a=b\\ \text{ou}\\ a=-b.
Aplicando com a=g(x) e b=2x-3 obtemos, para cada x,
g(x)=2x-3 \quad\text{ou}\quad g(x)=-(2x-3)=3-2x.
Explicação didática: isso significa que qualquer função g que, ponto a ponto, seja igual a 2x-3 ou a 3-2x satisfaz a composição pedida. As escolhas mais simples e usuais são as duas funções lineares constantes em sinal indicadas acima.

Passo 5

Observação adicional (útil na prova): a raiz quadrada principal dá
\sqrt{4x^{2}-12x+9} = \sqrt{(2x-3)^{2}} = |2x-3|.
Assim, g(x)=|2x-3| também é uma expressão válida para g (corresponde à escolha do sinal + quando 2x-3\ge0 e do sinal - quando 2x-3<0). Mas, para uma expressão simples e global, as duas funções lineares 2x-3 e 3-2x já resolvem o problema.

Resposta

g(x)=2x-3
g(x)=3-2x

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