Dadas as funções a seguir, determine f(x) e g(x) de modo que as funções possam ser escritas como y=f(g(x)). [Lembrete: Podem existir mais de uma maneira de decomposição das funções.]
Dadas as funções y=f(x) a seguir, determine, se possível, as funções inversas y=f^{-1}(x). Determine também D_{f} e D_{f^{-1}}. а) y=2 x-1;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
y =2x − 1
(1) escrever y como uma composição y = f(g(x)), ou seja, encontrar f e g tais que f(g(x)) =2x − 1;
(2) determinar a inversa y = f^{-}¹(x) (se existir) e os domínios D_f e D_{\(f^{-})¹}.

Passo 2

Escolhendo, por exemplo,
g(x) = 2x,
f(u) = u - 1,
temos
f\bigl(g(x)\bigr) = g(x) - 1 = 2x - 1,
ou seja, y = f(g(x)).

Passo 3

Para achar a inversa, trocamos x e y em
y = 2x - 1
de modo que
x = 2y - 1
e então isolamos y:
y = \frac{x + 1}{2}.
Logo
f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2}.

Passo 4

Como a função linear y =2x − 1 está definida para todo x real, temos
D_{f} = \mathbb{R}.
A inversa y = (x +1)/2 também é definida para todo x real, então
D_{f^{-1}} = \mathbb{R}.

Resposta

f e g para a composição:
g(x) = 2x,\quad f(u) = u - 1,
de modo que f(g(x)) = 2x - 1.
Função inversa e domínios:
f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2},\quad D_{f} = \mathbb{R},\quad D_{f^{-1}} = \mathbb{R}.

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