Para as funções f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x),(f \circ f)(x) \mathrm{e} (g \circ g)(x).
f(x)=x^{2}+3 e g(x)=\sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=x^{2}+3 e g(x)=\sqrt{x+1}
e pede as composições (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), (f\circ f)(x) e (g\circ g)(x).
O conteúdo aqui é composição de funções, que consiste em substituir a expressão de uma função na variável de outra.

Passo 2

Para calcular (f\circ g)(x) usamos a definição
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Como g(x)=\sqrt{x+1}, substituímos na fórmula de f:
(f\circ g)(x)=\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^{2}+3.
Como \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^{2}=x+1, temos
(f\circ g)(x)=x+1+3=x+4.

Passo 3

Para (g\circ f)(x) usamos
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Como f(x)=x^{2}+3, substituímos em g:
(g\circ f)(x)=\sqrt{\bigl(x^{2}+3\bigr)+1}=\sqrt{x^{2}+4}.

Passo 4

Para (f\circ f)(x) aplicamos f sobre si mesma:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(f(x)\bigr)^{2}+3.
Como f(x)=x^{2}+3,
(f\circ f)(x)=(x^{2}+3)^{2}+3=x^{4}+6x^{2}+9+3=x^{4}+6x^{2}+12.

Passo 5

Para (g\circ g)(x) aplicamos g sobre si mesma:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt{\bigl(g(x)\bigr)+1}.
Como g(x)=\sqrt{x+1},
(g\circ g)(x)=\sqrt{\sqrt{x+1}+1}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x+4 (g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}+4} (f\circ f)(x)=x^{4}+6x^{2}+12 (g\circ g)(x)=\sqrt{\sqrt{x+1}+1}

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