Dadas as funções a seguir encontre as fórmulas para as funções (f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x), (f / g)(x),(f \circ g)(x) e (g \circ f)(x).
f(x)=\sqrt{x+5} e g(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

Temos as funções
f(x)=\sqrt{x+5}
e
g(x)=\frac{1}{x}.
O que vamos precisar é a definição de soma, diferença, produto, quociente e composição de funções, ou seja:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f-g)(x)=f(x)-g(x),
(fg)(x)=f(x)\cdot g(x),\quad \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr),\quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).

Passo 2

Para a soma e a diferença aplicamos diretamente
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{x+5}+\frac{1}{x},
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x+5}-\frac{1}{x}.

Passo 3

Para o produto usamos
(fg)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt{x+5}\;\cdot\;\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x+5}}{x}.

Passo 4

Para o quociente escrevemos
\Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sqrt{x+5}}{\tfrac{1}{x}} =x\,\sqrt{x+5}.

Passo 5

Para as composições calculamos separadamente:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) =\sqrt{\frac{1}{x}+5},
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{x+5}}.

Resposta

(f+g)(x)=\sqrt{x+5}+\tfrac{1}{x} (f-g)(x)=\sqrt{x+5}-\tfrac{1}{x} (fg)(x)=\tfrac{\sqrt{x+5}}{x} \bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x)=x\,\sqrt{x+5} (f\circ g)(x)=\sqrt{\tfrac{1}{x}+5} (g\circ f)(x)=\tfrac{1}{\sqrt{x+5}}

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