Dadas as funções a seguir encontre as fórmulas para as funções (f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x), (f / g)(x),(f \circ g)(x) e (g \circ f)(x).
f(x)=\sqrt{x+1} e g(x)=|x-1|

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos as funções
f(x)=\sqrt{x+1},\quad g(x)=|x-1|
e o objetivo é encontrar as fórmulas de (f+g)(x), (f-g)(x), (f\,g)(x), \bigl(f/g\bigr)(x), (f\circ g)(x) e (g\circ f)(x).
O conteúdo que usamos é a definição de soma, diferença, produto, quociente e composição de funções, aplicadas diretamente a f e g.

Passo 2

Para a soma usamos
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
logo
(f+g)(x)=\sqrt{x+1}+|x-1|.

Passo 3

Para a diferença usamos
(f-g)(x)=f(x)-g(x),
logo
(f-g)(x)=\sqrt{x+1}-|x-1|.

Passo 4

Para o produto usamos
(f\,g)(x)=f(x)\cdot g(x),
logo
(f\,g)(x)=\sqrt{x+1}\,\bigl|x-1\bigr|.

Passo 5

Para o quociente usamos
\bigl(f/g\bigr)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},
desde que g(x)\neq0. Assim
\bigl(f/g\bigr)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\bigl|x-1\bigr|},
com a condição adicional x\neq1.

Passo 6

Para a composição f\circ g usamos
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr),
portanto
(f\circ g)(x)=\sqrt{\;g(x)+1\;}=\sqrt{|x-1|+1}.

Passo 7

Para a composição g\circ f usamos
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr),
portanto
(g\circ f)(x)=\bigl|\;f(x)-1\;\bigr|=\bigl|\sqrt{x+1}-1\bigr|.

Resposta

( f+g)(x)= \sqrt{x+1}+|x-1|
(f-g)(x)= \sqrt{x+1}-|x-1|
(f g)(x)= \sqrt{x+1}\,|x-1|
(f/g)(x)= \displaystyle\frac{\sqrt{x+1}}{|x-1|}, x\neq1
(f∘g)(x)= \sqrt{|x-1|+1}
(g∘f)(x)= |\sqrt{x+1}-1|

Exercícios relacionados