Dadas as funções a seguir encontre as fórmulas para as funções (f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x), (f / g)(x),(f \circ g)(x) e (g \circ f)(x).
f(x)=(x-1)^{2} e g(x)=7 x-4

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x) = (x - 1)^{2}
e
g(x) = 7x - 4
e pede as operações usuais de funções: soma, diferença, produto, quociente e composições. Vamos usar as definições (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f-g)(x)=f(x)-g(x), (f\,g)(x)=f(x)\,g(x), \bigl(f/g\bigr)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} (para g(x)\neq0), (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) e (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).

Passo 2

Para a soma,
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (x-1)^{2} + (7x - 4).
Expande-se (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1, então
(f+g)(x) = x^{2}-2x+1 + 7x -4 = x^{2} + 5x - 3.

Passo 3

Para a diferença,
(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (x-1)^{2} - (7x - 4).
Usando a mesma expansão,
(f-g)(x) = x^{2}-2x+1 -7x +4 = x^{2} -9x +5.

Passo 4

Para o produto,
(f\,g)(x) = f(x)\,g(x) = (x-1)^{2}\,(7x - 4).
Multiplicando (x^{2}-2x+1) por (7x -4), obtemos
(f\,g)(x) = 7x^{3} -18x^{2} +15x -4.

Passo 5

Para o quociente,
\bigl(f/g\bigr)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x-1)^{2}}{7x -4},
com domínio em todos os x tais que 7x-4\neq0 (isto é, x\neq \tfrac{4}{7}).

Passo 6

Para a composição f\circ g,
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \bigl(7x -4 -1\bigr)^{2} = (7x -5)^{2}.
Expandindo,
(f\circ g)(x) = 49x^{2} -70x +25.

Passo 7

Para a composição g\circ f,
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = 7\,(x-1)^{2} -4 = 7(x^{2}-2x+1) -4.
Logo,
(g\circ f)(x) = 7x^{2} -14x +7 -4 = 7x^{2} -14x +3.

Resposta

(f+g)(x) = x^{2} + 5x - 3
(f-g)(x) = x^{2} - 9x + 5
(f\,g)(x) = 7x^{3} -18x^{2} +15x -4
\bigl(f/g\bigr)(x) = \frac{(x-1)^{2}}{7x -4},\quad x\neq \tfrac{4}{7}
(f\circ g)(x) = 49x^{2} -70x +25
(g\circ f)(x) = 7x^{2} -14x +3

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