Dadas as funções a seguir encontre as fórmulas para as funções (f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x), (f / g)(x),(f \circ g)(x) e (g \circ f)(x).
f(x)=x^{3} e g(x)=\sqrt[3]{1-x^{3}}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^{3}
e
g(x)=\sqrt[3]{1 - x^{3}} = (1 - x^{3})^{1/3},
e pede as operações de soma, diferença, produto, quociente e as composições f\circ g e g\circ f. Vamos usar as definições:
(f+g)(x) = f(x) + g(x), \quad (f-g)(x) = f(x) - g(x),
(fg)(x) = f(x)\,g(x), \quad \bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x) = \frac{f(x)}{g(x)},
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr), \quad (g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr).

Passo 2

Aplicando a definição de soma:
(f+g)(x) = x^{3} + \sqrt[3]{1 - x^{3}}.

Passo 3

Aplicando a definição de diferença:
(f-g)(x) = x^{3} - \sqrt[3]{1 - x^{3}}.

Passo 4

Aplicando a definição de produto:
(fg)(x) = x^{3} \cdot \sqrt[3]{1 - x^{3}}.

Passo 5

Aplicando a definição de quociente (com g(x)\neq 0, isto é, 1 - x^{3}\neq 0):
\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x) = \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}.

Passo 6

Para f\circ g:
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \bigl(\sqrt[3]{1 - x^{3}}\bigr)^{3} = 1 - x^{3}.

Passo 7

Para g\circ f:
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = \sqrt[3]{1 - \bigl(x^{3}\bigr)^{3}} = \sqrt[3]{1 - x^{9}}.

Resposta

(f+g)(x) = x^{3} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} (f-g)(x) = x^{3} - \sqrt[3]{1 - x^{3}} (fg)(x) = x^{3}\,\sqrt[3]{1 - x^{3}} \displaystyle \bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x) = \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}} (f\circ g)(x) = 1 - x^{3} (g\circ f)(x) = \sqrt[3]{1 - x^{9}}

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