Explique, com suas palavras, como determinar o gráfico da função inversa y=f^{-1}(x) a partir do gráfico de y=f(x).

Passo 1

Para ter inversa, a função f deve ser bijetora, ou seja, injetora (um-a-um) e sobrejetora (atinge todo o valor da imagem). Em termos práticos, precisamos que cada valor de y seja atingido por exatamente um x em f.
Lembre que, se em f vale f(a)=b, então na inversa vale f^{-1}(b)=a. Graficamente, cada ponto (a,b) do gráfico de y=f(x) gera um ponto (b,a) no gráfico de y=f^{-1}(x).
Trocar as coordenadas dos pontos equivale a refletir o gráfico em torno da reta
y = x.
Para desenhar y=f^{-1}(x), imagine um espelho sobre a reta y=x: tudo que estava acima vira à direita e vice-versa.

Passo 2

Na prática de esboço, siga estes passos:
  1. Marque alguns pontos notáveis (x,f(x)) do gráfico de f.
  2. Inverta as coordenadas de cada ponto, obtendo (f(x),x).
  3. Una esses pontos conforme o formato original (curvas, retas, etc.), mas agora refletidos.
    Não esqueça que o domínio de f^{-1} é a imagem de f e a imagem de f^{-1} é o domínio de f. Se f tiver assíntotas verticais em x=a, elas viram assíntotas horizontais em y=a para f^{-1}, e vice-versa.

Resposta

O gráfico de y=f^{-1}(x) é obtido refletindo o gráfico de y=f(x) na reta y=x, trocando cada ponto (a,b) por (b,a), e invertendo domínio e imagem.

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