Dadas as funções a seguir encontre as fórmulas para as funções
(f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x), (f / g)(x),(f \circ g)(x) e (g \circ f)(x)
a) f(x)=x^{2} e g(x)=\sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x)=x^{2}
g(x)=\sqrt{x+1}
e pede para montar as operações usuais entre funções: soma, diferença, produto, quociente e composições. Vamos usar as definições:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
(f\,g)(x)=f(x)\cdot g(x)
\bigl(f/g\bigr)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} (onde g(x)\neq0)
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)

Passo 2

Aplicando as definições de soma e diferença:
(f+g)(x)=x^{2}+\sqrt{x+1}
(f-g)(x)=x^{2}-\sqrt{x+1}

Passo 3

Fazendo produto e quociente:
(f\,g)(x)=x^{2}\,\sqrt{x+1}
\bigl(f/g\bigr)(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \quad\bigl(g(x)\neq0\implies x\neq-1\bigr)

Passo 4

Para a composição f\circ g substituímos g(x) em f:
(f\circ g)(x)=f\bigl(\sqrt{x+1}\bigr) =\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^{2} =x+1

Passo 5

Para a composição g\circ f substituímos f(x) em g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(x^{2}\bigr) =\sqrt{x^{2}+1}

Resposta

(f+g)(x)=x^{2}+\sqrt{x+1} (f-g)(x)=x^{2}-\sqrt{x+1} (f\,g)(x)=x^{2}\,\sqrt{x+1} \bigl(f/g\bigr)(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} (f\circ g)(x)=x+1 (g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}+1}

Exercícios relacionados