Para as funções f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x),(f \circ f)(x) \mathrm{e} (g \circ g)(x).
f(x)=3 x+2 e g(x)=x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular composições de funções lineares. Temos
f(x)=3x+2
g(x)=x-2
O que vamos usar é a definição de composição:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr),\quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr),
e assim por diante, substituindo a saída de uma função como entrada da outra.

Passo 2

Calcular (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Primeiro fazemos g(x)=x-2 e então aplicamos f:
f\bigl(g(x)\bigr)=f(x-2)=3\,(x-2)+2=3x-6+2=3x-4.

Passo 3

Calcular (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Temos f(x)=3x+2 e em seguida
g\bigl(f(x)\bigr)=g(3x+2)=(3x+2)-2=3x.

Passo 4

Calcular (f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr).
Usamos f(x)=3x+2 dentro de si mesma:
f\bigl(f(x)\bigr)=f(3x+2)=3\,(3x+2)+2=9x+6+2=9x+8.

Passo 5

Calcular (g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr).
Temos g(x)=x-2 e então
g\bigl(g(x)\bigr)=g(x-2)=(x-2)-2=x-4.

Resposta

(f\circ g)(x)=3x-4 (g\circ f)(x)=3x (f\circ f)(x)=9x+8 (g\circ g)(x)=x-4

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